Sharpe Ratio und Jensen Alpha Kalkulation - Standardabweichung von Tagesrenditen

[daiffy]

Hallo zusammen,

 

im Rahmen meiner Abschlussarbeit beschäftige ich mich mit nachhaltigen Fonds und werde mehrere Performancevergleiche zu konventionellen Fonds vorstellen.

 

Ich habe mich für die Sharpe Ratio und das Jensen Alpha bei der Kalkulation entschieden. Nun bin ich mir aber nicht ganz so sicher, ob ich in meinem Excel Sheet alles beachtet habe was es zu beachten gibt!  Die Datei habe ich hochgeladen.

 

Ich habe mir tägliche Kurse über einen Zeithorizont von 5 Jahren eines Fonds und dem DAX gezogen, den ich als Benchmark verwenden will. Ich rechne im ersten Reiter auf Basis von Monatsrenditen und im zweiten mit Tagesrenditen. Bei den Monatswerten bin ich eigentlich ganz zuversichtlich, dass die Kalkulation stimmt. Bei den Tageswerten bereitet mir die Annualisierung der Standardabweichung aber Kopfschmerzen, da diese für Tagesrenditen wesentlich kleiner ausfällt als für Monatsrenditen und ich diese für das Jensen Alpha benötige.

 

Bei den Monatsrenditen errechne ich pro Jahr folgende Werte die ich dann mit Hilfe des geometrischen Mittels annualisiere:

- Stetige Rendite: =ln(Jahresendwert)-ln(Jahresstartwert)

- Standardabweichung: =stabw(Jahresstartwert:Jahresendwert) oder =varianz(Jahresstartwert:Jahresendwert)^0,5

- Volatilität: 12^(0,5)*WERT.StandardabweichungDesJahres

- Kovarianz: =Kovarianz.s(FOND.Jahresanfang:FONDJahrendende;DAX.Jahresanfang:DAX:Jahresende)

 

Mit diesen Werten rechne ich dann die beiden Kennzahlen aus und komme auf ganz vernünftige Werte. (glaube ich )

 

Bei den Tagesrenditen wird es für mich bisschen kniffliger. Ich annualisiere wieder die einzelnen Jahresergebnisse mit dem geometrischen Mittel. Die jährliche Rendite errechne ich identisch. Standardabweichung wird auch analog berechnet, nur wird diese pro Jahr wesentlich kleiner, da geringer-schwankende Tagesrenditen verwendet werden. So ist der annualisierte Wert auch ziemlich weit weg von dem der Monatsrenditen. 

 

Vollständigkeitshalber noch die anderen Formeln:

Volatilität: =anzahl(WERT.Jahresanfang:WERT.Jahresende)^(0,5)*WERT.StandardabweichungDesJahres

Kovarianz: =(anzahl(FOND.Jahresanfang:FONDJahrendende)^(0,5))*Kovarianz.s(FOND.Jahresanfang:FONDJahrendende;DAX.Jahresanfang:DAX:Jahresende)

 

Mit dieser Standardabweichung bzw. Varianz kann ich leider den Betafaktor und somit das Jensen Alpha nicht berechnen. Ich hoffe ich konnte mein Problem vermitteln! Ich bin wie man sieht nicht sehr tief in der Materie drin. Vielleich kann mir ja jemand weiterhelfen!  Vielen Dank!

Sharpe Jensen Calc2.xlsx

[IRRer-Zins]

"Traue keiner Sharpe-Ratio, die du nicht selbst berechnet hast." Oder so ähnlich.

Bringe die Begriffe Jensen Alpha und Regression in einem sinnvollen Zusammenhang.

[daiffy]

vor 16 Stunden schrieb IRRer-Zins:

Bringe die Begriffe Jensen Alpha und Regression in einem sinnvollen Zusammenhang.

 

Danke für deine Antwort, verstehe aber leider nicht was du mir genau damit sagen möchtest.

 

Ich will nicht zu tief in die Theorie eintauchen und mich eher auf das mathematische konzentrieren. Laut Literatur berechnet man das Jensen Alpha mit folgender Formel:

(Rendite.Portfolio - RisikofreierZins) - (Rendite.Benchmark - RisikofreierZins) * Betafaktor

 

Formel für den Betafaktor bzw. Regressionskoeffizienten:

Kovarianz(Portfolio;Benchmark) / Varianz(Benchmark)

 

Bei der Berechnung der Varianz(Benchmark) kommt es zum Problem, da dieser bei meinen Tagesrenditen wesentlich kleiner ausfällt als bei den Monatsrenditen. Die Volatilität, die ich auf Basis dieser Daten rechne, sieht dagegen ganz okay aus. Bin ziemlich verwirrt. Kann es sein dass das Jensen Alpha nur auf Basis von Monatsrenditen berechnet werden kann?

 

Hab die Datei erneut hochgeladen um paar Schönheitsfehler zu verbessern.

Sharpe Jensen Calc2 v2.xlsx

[IRRer-Zins]

vor 7 Stunden schrieb daiffy:

Ich will nicht zu tief in die Theorie eintauchen und mich eher auf das mathematische konzentrieren.

Theorie hätte dich vor einer falschen Sharpe Ratio Berechnung bewahrt.

https://web.stanford.edu/~wfsharpe/art/sr/sr.htm

Die korrekte Formel findet sich sogar auf Wikipedia.

1. Schritt: Zusätzliche Zeitreihe suchen

2. Schritt: Richtig rechnen

vor 7 Stunden schrieb daiffy:

Bei der Berechnung der Varianz(Benchmark) kommt es zum Problem, da dieser bei meinen Tagesrenditen wesentlich kleiner ausfällt als bei den Monatsrenditen. Die Volatilität, die ich auf Basis dieser Daten rechne, sieht dagegen ganz okay aus. Bin ziemlich verwirrt. Kann es sein dass das Jensen Alpha nur auf Basis von Monatsrenditen berechnet werden kann?

3. Schritt: Ab in die Bib und ein Buch zu Portfoliomanagement lesen (z.B. Mondello oder Bruns) oder den Betreuer fragen. Wenn ihm nichts auffällt, könnte man es fast so lassen. Die erste Option ist die bessere.

[daiffy]

Danke für den Input! Habe nun die korrekten Formeln verwendet und (hoffentlich) auch das Sheet dementsprechend richtig verformelt!

 

vor 15 Stunden schrieb IRRer-Zins:

1. Schritt: Zusätzliche Zeitreihe suchen

Die Daten der Zeitreihen waren leider nicht identisch, deswegen sollte ich laut Betreuer alle differenten Datenreihen löschen. Das hier dient aber nur zur "Proberechnung", die Kurse der für die Arbeit verwendeten Fonds bekomme ich vom Betreuer und diese sind hoffentlich vollständig.

 

Ich hätte noch zwei Fragen:

 

- Bei der Seite von deinem Link wird die Sharpe Ratio mit dem arithmetischen Mittel ermittelt. Wird das arithm. Mittel auch bei stetigen Renditen verwendet? Ich dachte hierfür wird das geometrische Mittel benötigt.

 

- Da ich jetzt nicht mehr mit den Formeln =VARIANZ, =STANDABW und =KOVARIANZ aus den Datenreihen rechne, sondern nur noch mit den monatlichen Renditen, muss ich eigentlich nur Monatsschlusskurse verwenden - Tagesrenditen werden irrelevant, oder? Liege ich hier falsch oder gibt es doch eine genauere Methode?

 

Neue Datei hängt wieder an!  

Sharpe Jensen Calc2 v3.xlsx

[IRRer-Zins]

Für deine Hypothesen werden Monatsendkurse wahrscheinlich ausreichen.

Die Formel für die Sharpe Ratio stimmt inzwischen. Jetzt musst du sie mit den richtigen Daten füttern.

1% hätte ich heute gerne risikofrei. Schreib deinem Betreuer, dass er dir auch eine passende Zeitreihe für den risikofreien Zinssatz besorgen soll.

Dann fügst du eine neue Spalte ein und berechnest die monatliche Überschussrendite. Lass die Annualisierung der Zwischenergebnisse weg, die lässt sich leicht für das Endergebnis hinzufügen.

Die Excelfunktion für die Standardabweichung kannst du für die Sharpe Ratio ohne Probleme benutzen.

 

Beschäftige dich mit der Berechnung des Jensen Alphas. Solltest du bei einer ex-post Betrachtung eine andere Berechnungsmethode nutzen? Wie willst du mir bei deinem Vorgehen zeigen, dass die Outperformance nicht nur Zufall ist?

Die Buchempfehlungen helfen dir da sehr schnell weiter.

 

 

[daiffy]

Formeln beibehalten - hoffentlich mit den richtigen Daten gefüttert!

Habe den Zins nun auf 0,5 % gesenkt - werde da aber deinem Rat, meinen Betreuer zu fragen, nachgehen.

Spalte für die Überschussrendite eingefügt und die Sharpe Ratio jährlich berechnet, sowie sie am Ende wieder mit arithmetischen und geometrischen Mittel annualisiert.

 

Habe mich ein bisschen in Mondello eingelesen, in der Literatur steht dass das ex-post Alpha wie folgt berechnet wird:

= erzielte Performancerendite - Rendite gemäß des CAPM

Die Rendite gemäß des CAPM verwirrt mich leider ein bisschen - wird hier auf die Wertpapier- oder die Kapitalmarktlinie angespielt? Und falls ja, wie kann ich diese berechnen?

Habe in der Datei angenommen, dass die Rendite gemäß des CAPM die Benchmark-Überschussrendite multipliziert mit dem Betafaktor ist. 

 

Vielen Dank für deine Hilfe! Datei hängt wieder an.

Sharpe Jensen Calc2 v4.xlsx

[IRRer-Zins]

Das sieht schon besser aus.
Die Annualisierung der Sharpe Ratio wird bei Monatsdaten durch Multiplikation mit Wurzel 12 erreicht. Dies ist nach The Statistics of Sharpe Ratio von Lo allerdings zu hinterfragen.
Daher immer auf die vereinfachte Annualisierung hinweisen.
Weiter kann man die Sharpe Ratio von mehreren Zeiträumen nicht zusammensetzen, sondern sie muss immer mit den Grunddaten berechnet werden.
Dies liegt an der Standardabweichung im Nenner, welche nicht einfach addiert werden kann.
Richtige Formel für die Sharpe Ratio vom Gesamtzeitraum auf Basis monatlicher Endkurse und risikofreiem Zins XY: =(12^0,5)*SUMME(E4:E63)/(ANZAHL(E4:E63)*STABWA(E4:E63))
Bei dir fehlt aktuell bei der annualisierten Rendite der Faktor 12 im Zähler zur Annualisierung der durchschnittlichen Rendite. Gleiches gilt für den Faktor Wurzel 12 bei der Standardabweichung.
Aus beiden ergibt sich der Faktor Wurzel 12 für die Sharpe Ratio.

Deine risikofreie Rendite geht leider noch nicht entsprechend des Zeitraums der betrachteten monatlichen Perioden in die Berechnung mit ein. Bitte daher mit (1+r)^(1/12)-1 berücksichtigen.
Neben der noch fehlenden Zeitreihe für den risikofreien Zins solltest du dir nochmal Gedanken über deine Benchmark machen.
Aktuell ist das noch Äpfel mit Birnen vergleichen. Ich zitiere ein anderes Forenmitglied: Hast du den Prospekt [des Fonds] gelesen?

Für dich interessant sind Kapitel 3.2.2 und 3.2.3 im Mondello.

[daiffy]

Danke für deine Antwort!

Habe den risikolosen Zins monatlich in einer eigenen Spalte mit besagter Formel hinzugefügt und eine neue Überschussrendite ermittelt.

 

vor 22 Stunden schrieb IRRer-Zins:

Richtige Formel für die Sharpe Ratio vom Gesamtzeitraum auf Basis monatlicher Endkurse und risikofreiem Zins XY: =(12^0,5)*SUMME(E4:E63)/(ANZAHL(E4:E63)*STABWA(E4:E63))
Bei dir fehlt aktuell bei der annualisierten Rendite der Faktor 12 im Zähler zur Annualisierung der durchschnittlichen Rendite. Gleiches gilt für den Faktor Wurzel 12 bei der Standardabweichung.

 

Ist es laut deiner Formel nicht genau andersrum?

Habe die Formel mal so angewendet und zusätzlich (nur zum Verständnis) die jährliche Sharpe Ratios berechnet.

 

Reden wir bei der Literatur von Mondellos Buch "Portfoliomanagement - Theorie und Anwendungsbeispiele" in der zweiten Ausgabe? Ich hoffe nicht, denn die zweite Hälfte von Kapitel 3.2.3. überfordert mich gnadenlos. Gibt es da eventuell auch etwas leichtere Kost?

 

Soweit ich das nun verstanden habe benötige ich im ersten Schritt erstmal eine Regressionsgleichung - die habe ich versucht zu erstellen. Überschussrenditen verwende ich die identische Berechnung wie bei Sharpe. Die Datei hängt an. 

Sharpe Jensen Calc2 v5.xlsx

[IRRer-Zins]

vor 6 Stunden schrieb daiffy:

Ist es laut deiner Formel nicht genau andersrum?

Ich habe im Kopf 12 / Wurzel 12 gerechnet. Das entspricht Wurzel 12.

Deine jährlichen Sharpe Ratios sind nicht richtig annualisiert. Da fehlt noch der Faktor Wurzel 12.

vor 6 Stunden schrieb daiffy:

Reden wir bei der Literatur von Mondellos Buch "Portfoliomanagement - Theorie und Anwendungsbeispiele" in der zweiten Ausgabe? Ich hoffe nicht, denn die zweite Hälfte von Kapitel 3.2.3. überfordert mich gnadenlos. Gibt es da eventuell auch etwas leichtere Kost?

Genau diese Kapitel in der Auflage.

Ein besser erläutertes Beispiel wirst du nur schwer nicht finden. Du hast im Studium wahrscheinlich Statistik bestanden und somit ist das kein Problem.

Am besten googlest du jetzt Excel und Regression. Da wirst du fündig.
Die Ergebnisse aus dem Buch sehen so aus, als könnten sie mit dem Excel Datenanalysetool erstellt worden sein.

[daiffy]

Okay, dann sollte die Sharpe Ratio somit hoffentlich durch sein. 

 

Habe ein Punktdiagramm mit Regressionsgeraden auf Basis der beiden monatlichen Überschussrenditen erstellt.

Datentool habe ich auch durchlaufen lassen und die Formeln im Buch (teilweise) gerechnet um die Ergebnisse gegen zu checken. Sieht soweit gut aus.

Die Nullhypothesen, dass Konstante und Steigung =0 sind, lehne ich aufgrund des Standardfehlerwertes und des P-Wertes ab. Also sind die wahren auch die geschätzten Werte bzw. vis a vis, oder?

Somit habe ich nun die Regressionsgleichung . Jetzt fehlt mir leider die Brücke auf die Rendite gemäß des CAPM über zu leiten. Muss ich mit den Effizienzkurven arbeiten?

 

Vielen Dank für deine Hilfe! 

Sharpe Jensen Calc2 v6.xlsx

[IRRer-Zins]

Das sind alle Ergebnisse, die du erzielen wolltest. Sharpe Ratio und Jensen Alpha (hier allerdings monatlich)

CAPM ist die Basis der Regressionsgleichung. Da machst du nichts mehr zusätzlich.

Deine Schlüsse mit dem P-Wert solltest du nochmal genau prüfen. Gegenfrage: Was ist dein Signifikanzniveau?

[daiffy]

Alles klar! Konnte mich die letzte Woche leider sehr wenig mit der Arbeit beschäftigen, ich hoffe du bist noch da/ interessiert 

Habe nun die Sharpe Ratios für einen besseren Vergleich mal kumuliert.

Basis im Sinne der Teilmenge eines Vektorraumes? Und wie komm ich auf die jährlichen Werte? 

Mein Signifikanzniveau liegt bei 5%. Der kritische Wert liegt bei -0,157 und dieser wird hier beim Alpha und Beta überschritten. Deswegen werden die Nullhypothesen verworfen.

Beim P-Wert habe ich mich vertan, würde es reichen das Ergebnis mit der t-Statistik zu begründen?

 

Danke für deine Hilfe, die Datei hängt wieder an.

Sharpe Jensen Calc2 v7.xlsx

[IRRer-Zins]

Am 21/02/2019 um 15:40 schrieb daiffy:

Alles klar! Konnte mich die letzte Woche leider sehr wenig mit der Arbeit beschäftigen, ich hoffe du bist noch da/ interessiert 

Habe nun die Sharpe Ratios für einen besseren Vergleich mal kumuliert.

Basis im Sinne der Teilmenge eines Vektorraumes? Und wie komm ich auf die jährlichen Werte? 

Mein Signifikanzniveau liegt bei 5%. Der kritische Wert liegt bei -0,157 und dieser wird hier beim Alpha und Beta überschritten. Deswegen werden die Nullhypothesen verworfen.

Beim P-Wert habe ich mich vertan, würde es reichen das Ergebnis mit der t-Statistik zu begründen?

Warum ist ein P-Wert größer und der andere kleiner als das Signifikanzniveau, wenn bei beiden die Nullhypothese verworfen wird?

Wie kommst du auf den kritischen Wert. Dieser sollte deutlich davon abweichen.

Wie hängen P-Wert und T-Wert zusammen?

[daiffy]

Der kritische Wert liegt bei Signifikanzniveaus von 2,5% sowie 5% bei 60 Freiheitsgraden bei 2.

Also wird die Nullhypothese bei der Konstanten angenommen (2>1,1952) und bei der Steigung auf Basis des T-Wertes abgelehnt (2<7,9666).

Der P-Wert der Konstanten (0,2368) gibt an, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 23,68% der (t-)Wert 1,1952 mit einem Standardfehler von 0,003453624 erreicht wird. Er liegt über dem kritischen Wert von 2.

Die bedeutet, dass sich die Konstante, wie bei dem geschätzten Wert, nicht signifikant von Null unterscheidet und der geschätzte Wert beibehalten werden kann.

Bei der Steigung wird hingegen die Nullhypothese abgelehnt und der P-Wert liegt nahe bei Null, so dass der "geschätzte Wert", der such auch signifikant von Null unterscheidet, angenommen werden kann.

Ich hoffe das geht nun mehr in die richtige Richtung. Ich danke dir für deine Zeit!

[IRRer-Zins]

Am 27.2.2019 um 17:30 schrieb daiffy:

Der kritische Wert liegt bei Signifikanzniveaus von 2,5% sowie 5% bei 60 Freiheitsgraden bei 2.

Warum 60 Freiheitsgrade?

Am 27.2.2019 um 17:30 schrieb daiffy:

 

Der P-Wert der Konstanten (0,2368) gibt an, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 23,68% der (t-)Wert 1,1952 mit einem Standardfehler von 0,003453624 erreicht wird.

???, geht aber in die richtige Richtung.

Am 27.2.2019 um 17:30 schrieb daiffy:

Also wird die Nullhypothese bei der Konstanten angenommen (2>1,1952) und bei der Steigung auf Basis des T-Wertes abgelehnt (2<7,9666).

.....

Kleinster Wert immer nach links schreiben und definitiv an den Formulierungen der Schlussfolgerungen  arbeiten.

[daiffy]

Es sind 58 Freiheitsgrade, der kritische Wert liegt dennoch bei ungefähr 2.

 

Ich habe die Formulierung bezüglich des P-Wertes direkt aus der Literatur entnommen. Habe nun bisschen weiter gesucht und bin auf die These gestoßen, dass die Nullhypothese abgelehnt werden muss, wenn der P-Wert unter dem festgelegten Signifikanzniveau liegt. Was in meinem Fall bei der Konstanten bedeuten würde, dass die Nullhypothese angenommen wird (0,05<0,236854331) und bei der Steigung zu einer Ablehnung führen würde (6,96591E-11<0,05). Dies würde dann auch zu den Ergebnissen der T-Werte passen, bei der auch die Nullhypothese der Konstanten angenommen wird (1,195248474<2) und die der Steigung abgelehnt (2<7,966656202). Also kann davon ausgegangen werden, dass die ermittelte Regressionsgleichung auf Basis des T- und P-Wertes korrekt ist?!

 

Wie mache ich nun weiter bzw. komme auf die Basis der Regressionsgleichung?

Vielen Dank!

[IRRer-Zins]

Das sieht gut aus.

Du kannst die Nullhypothese für das Alpha nicht verwerfen, also bleibt dieses bei Null.

Deshalb besteht deine Regressionsgleichung nur noch aus der Steigung mit dem berechneten Vorfaktor.

[daiffy]

Okay ich verstehe.

Die Regressionsgleichung aus meinem Beispiel lautet also nun: 0,576261349*x

 

Wie kann ich diese nun interpretieren bzw. wie komme ich auf das ex-post Jensen Alpha des Fonds?

 

ex-post J.A.= erzielte Performancerendite - Rendite gemäß des CAPM

Am ‎13‎.‎02‎.‎2019 um 19:52 schrieb IRRer-Zins:

CAPM ist die Basis der Regressionsgleichung. Da machst du nichts mehr zusätzlich.

Heißt dass, das ich nun die Basis der Regressionsgleichung ermitteln muss und diese dann von der 5-jährigen Fondperformance subtrahieren muss, oder bin ich wieder auf dem Holzweg?

 

Vielen Dank für deine Hilfe!

[IRRer-Zins]

Das zur Regression verwendete Marktmodell ist das CAPM.
Siehe Formel auf Wikipedia. Es wird nur noch das Alpha für die Regression hinzugefügt.

Jensen Alpha ist berechnet, aber nicht signifikant unterschiedlich von 0.

Zur Interpretation Factsheet und Prospekt des Fonds heranziehen und das Ergebnis auf Plausibilität überprüfen.

Da käme zum Beispiel die Frage auf: Ist so ein geringes Beta gewünscht und vorgesehen? Kostenquote, .....

Ein interessante Frage wäre dann: Ist der DAX die richtige Benchmarkwahl?

[daiffy]

Will sagen, dass ich die Berechnung (ex-post J.A.= erzielte Performancerendite - Rendite gemäß des CAPM) also mit dem Excel Tool durchgeführt habe?

 

vor 19 Stunden schrieb IRRer-Zins:

Jensen Alpha ist berechnet, aber nicht signifikant unterschiedlich von 0.

 

Heißt also in diesem Fall, da das Alpha nicht signifikant von null unterschieden werden kann, dass der Fond weder eine bessere noch ein schlechtere Performance als die hier verwendete Benchmark aufweist?

 

Der DAX ist die falsche Benchmarkwahl. Ich verwende in der Arbeit den MSCI World Index und/oder noch einen weiteren etablierten (nicht-nachhaltigen) Fond!

 

[IRRer-Zins]

Am 13/03/2019 um 12:52 schrieb daiffy:

Will sagen, dass ich die Berechnung (ex-post J.A.= erzielte Performancerendite - Rendite gemäß des CAPM) also mit dem Excel Tool durchgeführt habe?

Ja

Am 13/03/2019 um 12:52 schrieb daiffy:

Heißt also in diesem Fall, da das Alpha nicht signifikant von null unterschieden werden kann, dass der Fond weder eine bessere noch ein schlechtere Performance als die hier verwendete Benchmark aufweist?

Ja, risikoadjustiert

[daiffy]

Alles klar!

Gibt es dann für die Berechnung des J.A. noch einen anderen Weg wenn es, wie in diesem Fall, nicht signifikant unterschiedlich von 0 ist? Oder kommt bei diesem Ergebnis eine risikoadjustierte Performancemessung mit dem J.A. nicht in Frage bzw. kann nicht ermittelt werden? 

 

Heißt das, dass wenn der t-Wert der Konstanten größer als 2 ist, der Wert der Konstanten der Regressionsgleichung dann mein J.A. ist? (bei gleichen Freiheitsgraden und Signifikanzniveau) Und im Rückschluss, dass wenn der t-Wert der Konstanten, wie hier, kleiner als 2 ist, das Alpha nicht signifikant von 0 unterschieden werden kann und somit kein J.A. ermittelt werden kann?

 

Vielen Dank für deine Hilfe!