Überlebenswahrscheinlichkeit eines Portfolios

[Jesse_L]

Hintergrund diese Postings ist die simple Frage: wie lange hält ein Portfolio, bei z.B. 7% Rendite p.a. bei einer Vola von 14% und einer Entnahme von 5% p.a. (des ursprünglichen Kapitals)?

 

Deterministisch gerechnet (also 7% konstante Rendite bei Vola = 0) ist die Antwort einfach. Aber sobald Vola ins Spiel kommt – und man bei schlechten Kursen Teilverkäufe vornimmt – sieht die Sache schon ganz anders aus. Hier interessieren mich Monte Carlo Simulationen um die Überlebenswahrscheinlichkeit abzuschätzen.

 

Derzeit verwende ich folgende simple Formel in EXCEL:

 

Kurs 2 = Kurs 1 * exp(R + S*standnorminv(zufallszahl())) – Auszahlung der Periode

 

wobei

 

Kurs i = Kurs zum Zeitpunkt i = 1,2

 

R = Erwartete (logarithm.)-Rendite im Zeitraum [1;2]

 

S = Volatilität im selben Zeitraum

 

 

 

Das Ergebnis sind schöne Zappelkurven, die auf den ersten Blick nicht so schlecht aussehen.

 

Aber diese sind natürlich errechnet mit normalverteilten Periodenrenditen. Nun sind aber echte Renditen bekanntlich nicht normalverteilt, sondern leiden an schiefen Verunstaltungen (höhere Momente ). Die so simulierten Verläufe zeigen natürlich auch keinerlei „reversal to the mean“ und auch keine Sprünge („jump diffusion“), letzteres ist aber m. E. nicht so wichtig wenn man längere Zeiträume und Indizes/Gesamtportfolios statt kurzfristig Einzelwerten simulieren möchte).

 

Was aber am meisten auffällt, wenn man die derartige Simulationsergebnisse neben echten Indizes legt, ist das das langfristige Ergbenisspektrum WESENTLICH breiter ist als zB ein DAX Portfolio über 20 Jahre bei verschiedenen 20 Jahres-Zeiträumen. Dummerweise passiert dies auch dann, wenn man Monats- oder gar Tagesperioden statt Jahresperioden simuliert.

 

Frage: kennt jemand eine Möglichkeit, mit Hilfe von Excel auf einfache Art periodenweise, sequentiell (ohne VBA Makros) bessere Renditeverteilungen zu simulieren und damit näher an den historischen/tatsächlichen Ergebnissen von Indizes zu liegen als mit dieser einfachen „STANDNORMINV(ZUFALLSZAHL()) – Funktion“ ?

 

Bei Nachforschungen in den Weiten des WWW stößt man schnell auf Themen wie GARCH, Vasicek etc. Dies scheint aber immer nur mit MATLAB o.ä zu gehen, was mir nicht zur Verfügung steht.

 

Die Mathematik ist nicht so sehr das Thema, wenn ich meine Studienkenntnisse über STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS etwas abstaube und aufpoliere, könnte ich mich da theoretisch reinarbeiten. Aber ich suche leicht umsetzbare, vernünftige Lösungen - keine hochgezüchteten Modelle - um eine REALISTISCHE Einschätzung der Überlebeswahrscheinlichkeit eines Portfolios mit gegebener Rendite und Volatilität bei gegebener periodenweiser Entnahme zu errechnen / simulieren.

 

 

 

Vielen Dank für jedwede Hilfe.

[Sapine]

Außer Matlab fällt mir dazu jetzt auch nichts ein, wobei ich es nie selbst berechnet habe.

 

Zur Fragestellung, solltest Du vielleicht noch eine Dynamisierung bei der Auszahlung berücksichtigen, falls das ganze realistisch sein soll für einen längeren Zeitraum.

 

5 % bei 7 % Rendite finde ich in jedem Fall wahnwitzig, wenn ich darauf meine Altersvorsorge aufbauen wollte. Bereits 4 % führt in signifikant vielen Fällen zum absehbaren Ende des Depots. Entscheidender als die genaue Form der Verteilung dürfte die Frage sein, ob Du zu Beginn der Auszahlungsphase einen Börseneinbruch erlebst oder nicht.

 

Vielleicht findet ja einer unserer Rechenteufel den Weg zu Deiner Frage (Schinzilord, chemstudent, lurklurk, Nobby54 ...).

[girsanov]

Hintergrund diese Postings ist die simple Frage: wie lange hält ein Portfolio, bei z.B. 7% Rendite p.a. bei einer Vola von 14% und einer Entnahme von 5% p.a. (des ursprünglichen Kapitals)?

 

Deterministisch gerechnet (also 7% konstante Rendite bei Vola = 0) ist die Antwort einfach. Aber sobald Vola ins Spiel kommt – und man bei schlechten Kursen Teilverkäufe vornimmt – sieht die Sache schon ganz anders aus. Hier interessieren mich Monte Carlo Simulationen um die Überlebenswahrscheinlichkeit abzuschätzen.

 

Derzeit verwende ich folgende simple Formel in EXCEL:

 

Kurs 2 = Kurs 1 * exp(R + S*standnorminv(zufallszahl())) – Auszahlung der Periode

 

wobei

 

Kurs i = Kurs zum Zeitpunkt i = 1,2

 

R = Erwartete (logarithm.)-Rendite im Zeitraum [1;2]

 

S = Volatilität im selben Zeitraum

 

 

 

Das Ergebnis sind schöne Zappelkurven, die auf den ersten Blick nicht so schlecht aussehen.

 

Aber diese sind natürlich errechnet mit normalverteilten Periodenrenditen. Nun sind aber echte Renditen bekanntlich nicht normalverteilt, sondern leiden an schiefen Verunstaltungen (höhere Momente ). Die so simulierten Verläufe zeigen natürlich auch keinerlei „reversal to the mean“ und auch keine Sprünge („jump diffusion“), letzteres ist aber m. E. nicht so wichtig wenn man längere Zeiträume und Indizes/Gesamtportfolios statt kurzfristig Einzelwerten simulieren möchte).

 

Was aber am meisten auffällt, wenn man die derartige Simulationsergebnisse neben echten Indizes legt, ist das das langfristige Ergbenisspektrum WESENTLICH breiter ist als zB ein DAX Portfolio über 20 Jahre bei verschiedenen 20 Jahres-Zeiträumen. Dummerweise passiert dies auch dann, wenn man Monats- oder gar Tagesperioden statt Jahresperioden simuliert.

 

Frage: kennt jemand eine Möglichkeit, mit Hilfe von Excel auf einfache Art periodenweise, sequentiell (ohne VBA Makros) bessere Renditeverteilungen zu simulieren und damit näher an den historischen/tatsächlichen Ergebnissen von Indizes zu liegen als mit dieser einfachen „STANDNORMINV(ZUFALLSZAHL()) – Funktion“ ?

 

Bei Nachforschungen in den Weiten des WWW stößt man schnell auf Themen wie GARCH, Vasicek etc. Dies scheint aber immer nur mit MATLAB o.ä zu gehen, was mir nicht zur Verfügung steht.

 

Die Mathematik ist nicht so sehr das Thema, wenn ich meine Studienkenntnisse über STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS etwas abstaube und aufpoliere, könnte ich mich da theoretisch reinarbeiten. Aber ich suche leicht umsetzbare, vernünftige Lösungen - keine hochgezüchteten Modelle - um eine REALISTISCHE Einschätzung der Überlebeswahrscheinlichkeit eines Portfolios mit gegebener Rendite und Volatilität bei gegebener periodenweiser Entnahme zu errechnen / simulieren.

 

 

Vielen Dank für jedwede Hilfe.

 

Hallo,

 

hier mal ein paar Gedanken:

 

1. Wenn die SDE auf dem Ito-Kalkül basiert kann man sie relativ leicht numerisch lösen, etwa mit Euler-Maruyama oder Milstein. Der nachfolgende C++ Code simuliert z.B. Pfade nach dem Heston Modell, das ist ein Modell mit stochastischer Volatilität. Mit Excel dürfte das allerdings sehr langsam werden. Mit Sprungprozessen kenne ich mich nicht aus.

 

 

void get_path_euler(long n, double T, double r, double sigma, double S0, double V0, double alpha, double theta, vector<double>& rand1, vector<double>& rand2 , vector<double>& S, vector<double>& V)
{
   double h = T/n;
   double S_new,V_new;
   S.push_back(S0);
   V.push_back(V0);
   for(long j = 1; j<n+1;j++)
   {
       S_new = S[j-1]+r*S[j-1]*h+sqrt(V[j-1]*h)*S[j-1]*rand1[j-1];
       V_new = V[j-1]+alpha*(theta-V[j-1])*h + sqrt(V[j-1]*h)*sigma*rand2[j-1];
       S.push_back(S_new);
       V.push_back(abs(V_new));
   }
}

void get_path_milstein(long n, double T, double r, double sigma, double S0, double V0, double alpha, double theta, vector<double>& rand1, vector<double>& rand2 , vector<double>& S, vector<double>& V)
{
   double h = T/n;
   double S_new,V_new;
   S.push_back(S0);
   V.push_back(V0);
   for(long j = 1; j<n+1;j++)
   {
       S_new = S[j-1]+r*S[j-1]*h+sqrt(V[j-1]*h)*S[j-1]*rand1[j-1] +0.5*V[j-1]*S[j-1]*h*(rand1[j-1]*rand1[j-1]-1);
       V_new = V[j-1]+alpha*(theta-V[j-1])*h+sigma*sqrt(V[j-1]*h)*rand2[j-1] +0.25*sigma*sigma*h*(rand2[j-1]*rand2[j-1]-1);
       S.push_back(S_new);
       V.push_back(abs(V_new));
   }
}

 

2. Mein Professor hat in der Vorlesung mal eine inverse Gauß-Verteilung zur Simulation von DAX Renditen verwendet. Ich kenne mich aber nicht aus, welche Modelle in der Praxis verwendet werden. Das dürfte aber in Excel ebenfalls schwierig werden.

 

3. Was spricht dagegen, einfach Stichproben aus der empirischen Verteilung eines geeigneten Index zu ziehen? Das sollte auch in Excel klappen.

 

Liebe Grüße,

girsanov

[IRRer-Zins]

 

3. Was spricht dagegen, einfach Stichproben aus der empirischen Verteilung eines geeigneten Index zu ziehen? Das sollte auch in Excel klappen.

 

 

Wäre auch mein Vorschlag.

Hinterlegen von einer Verteilung und zufälliges auslesen aus dieser.

[Jesse_L]

Zuerst mal Danke für die Kommentare.

 

@ Sapine:

Eine Dynamisierung muss natürlich berücksichtigt werden, ebenso spätere Cash-In's aus anderen Quellen. Wollte das Ganze erst einmal simple & stupid halten, um das, was für mich derzeit das Kernproblem ist, herauszustellen: die Erzeugung möglichst realsitischer Renditeverteilungen.

 

Das 5 bei 7% extrem *sportlich* sind, ist klar. Wahrscheinlich wird es das Portfolio nicht überleben, wenn man nicht gerade einen ordentlichen Bullenmarkt mitmacht. Aber mir geht es ja gerade um die Abschätzung der Überlebenswahrscheinlichkeit (in einem gewissen Zeitarum, z.B. 20 Jahre). Ein Crash am Anfang ist meist tötlich, das zeigen auch meine naiven Simulationen und ist auch einleuchtend.

 

Equivalent dazu wäre die Fragestellung: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Portfolio nach X Jahren bei Startwert Y noch mindestens den Wert Z hat bei einer Entnahme von einer definierten Cash-out Reihe.

Das ist alles in EXCEL easy zu handhaben, wenn man nur realistische Renditeverteilungen simulieren könnte...

 

@girsanov: werde mir mal die inverse Gauß-Verteilung bei Gelegenheit näher anschauen. Wie gesagt, in die Tiefen der SDE einzusteigen würde ich gerne vermeiden (habe aber die Vermutung, dass es anders gar nicht geht - die Frage ist dann allerdings: ist es die Theorie wert oder bleibt das am Ende nur garue Theorie,die wenig bis keinen praktsichen Mehrwert generiert).

 

@girsanov & IRR:

Habe das auch schon gemacht, aber die Datensätze sind begrenzt wenn man die Zeitreihen in der Orginalsequenz nimmt. Inwiefern das Ganze noch eine Aussagekraft hat, wenn man die Orginalrenditen beliebig neu in der Reihenfolge zusammenstellt (so 'ne Art bootstrapping), ist mir bis heute nicht klar. Ich galube die entscheidende Frage dazu ist ob in den Kursreihen eine gewisse Autokorrelation vorliegt oder nicht, aber hier komme ich an die Grenzen meiner Ahnung(slosigkeit). Vielleicht kann noch jemand der Forumsteilnehmner Licht in die Dunkelheit meines Nichtwissens bringen ?

[Schinzilord]

Für eine grobe Abschätzung sollte auch die Normalverteilung OK sein.

Du hast ja ein diversifiziertes Portfolio, oder?

Wenn es kein optionsähnliches Auszahlungsprofil hat, reicht es für eine erste Näherung.

 

Wenn es komplizierter sein soll, könnte man eine Gammaverteilung für den fat tail modellieren.

Aber meines Erachtens kann man das nicht wirklich kalibrieren. Dann lieber die Vola hochsetzen

 

Ich kann dir ein kleines Script anbieten, welches ich nach den Vorgaben aus "Humancapital and Asset Allocation" von Ibbotson et al. modelliert habe.

Für deinen Fall habe ich es umgedreht:

Kein Einkommen mehr, dafür jährlich 5% Entnahme des Vermögens, 7% Wertzuwachs, 14% vola p.a.

Fiktives Alter: 60

Auszahlungszeitraum: 35 Jahre

Vermögen 1000000€

 

Monte Carlo Simulation (100000 Durchläufe);

Ergebnisse im Alter von 95 Jahren:

Mittelwert_Wealth = 1.1184 Mio

 

Median_Wealth = 0.87409 Mio

Standardabweichung_Wealth = 0.89688Mio

Min_Wealth = 0.045878Mio

Max_Wealth = 17.798Mio

 

Value at Risk zu 95%, 99% und 99.9%*

Wealth_VaR_95 = 0.27739 Mio

Wealth_VaR_99 = 0.17198 Mio

Wealth_VaR_999 = 0.099782 Mio

Siehe Beispielkursverläufe und das Histogramm:

(*): Zu x% sind das Vermögen im Alter von 95 Jahren nicht unter y Euro.

In einem von Tausend Fällen liegt das Vermögen nur noch bei 99000€.

 

Bei einem Vermögen von nur 20000€ liegt der 99% VaR nur noch bei 20000€.

 

GNU Octave ist ein Matlab-Klon, welcher kostenlos verwendet werden kann.

Hier das Script:

hcaa_distribution.zip

[Jesse_L]

@ Schinzilord: vielen Dank dafür !

Im Ergebnisgraph steht 4% Entnahme, im Text 5%. Könntest Du bitte noch einmal klarstellen, für welchen Wert Du genau gerechnet hast und ob die x% Ennahme sich immer als Festwert auf den Anfangswert des Portfolio beziehen oder auf den jeweiligen aktuellen Wert.

Leider sind meine EDV Kenntnisse auf Excel/Word/ Power Point etc. begrenzt, weshalb ich Tools wie GNU Octave kaum ohne intensive zeitliche Beschäftigung nutzen kann. Meine Studienjahre, wo auch noch kräftig simuliert wurde, liegen gefühlte 30 Jahre zurück und tatsächlich sinds nur ein paar weniger.

 

In diesem Zusammehang: das Du mir 60 Jahre unterstellst ist zwar doch noch etwas übertrieben, würde ich jedoch akzeptieren, wenn das mit dem Portfolio-Anfangswert auch nur ansatzweise stimmen würde

[Schinzilord]

Die Entnahme ist 5%, wie bei dir im Anfangspost beschrieben.

Wenn du mir plausible Daten gibst, kann ich das gerne nochmal rechnen.

Bin aber grad im Urlaub, kann bisserl dauern.

Aber Octave für Windows installieren, Script abspeichern und aufrufen sollte ein alter Akademiker doch mit Links schaffen

[Sapine]

Mir hat Deine Fragestellung keine rechte Ruhe gelassen, weil ich denke dass eine rein schematische Vorgehensweise fehlerbehaftet ist. Früher hat man mit durchschnittlichen Renditen gerechnet für die Abschätzung, Bengen dann mit historischen Renditen und andere noch später mit Monte Carlo Simulationen bei verschiedenen Verteilungen experimentiert. Die Frage aber bleibt, ob die Modelle der Realität gerecht werden und ob die entsprechenden Berechnungen Dir letztendlich wirklich Sicherheit geben können. Auch wenn es Dir nicht wirklich hilft bei Deiner konkreten Fragestellung zur Berechnung, habe ich hier noch einen recht interessante Seite von Michael Kitces gefunden, die einen Zusammenhang zwischen dem CAEP und der sicheren Entnahmequote untersucht. Oder anders ausgedrückt, was man mit Monte Carlo Simulationen als zufällig unterstellt ist es in Wirklichkeit gar nicht.

 

Understanding Sequence Of Return Risk – Safe Withdrawal Rates, Bear Market Crashes, And Bad Decades

[soundjunk]

Jetzt mal ganz doof gefragt:

Reicht es nicht aus, wenn man mit folgender Formel rechnet?:

Rendite(stetig oder logarithmisiert) - # * Vola?

#= Konfidenzfaktor für das jeweilige Value at Risk- Konfidenzniveau

Und dann zieht man vom Portfolio halt die 5% Auszahlung ab.

[One Trick Pony]

VaR wäre wohl naheliegend, aber da würden mich die Abgänge stören.

Man könnte dafür gut Moody's Logit Modell wählen, das diesen Weg über binominale Wahrscheinlichkeiten abläuft (pleite oder nicht).

 

Kurz zu den Excel-Berechnungen: Es lohnt sich häufig pseudo-Zufallszahlen (bsp Modulo) zu wählen, da die Excel Zufallszahl so ihre Schwächen besitzt (wird v.a. deutlich, wenn man versucht die Zahl "Pi" über eine Simulation zu ermitteln).

 

Wenn du mit Schinzis Ausführung nicht zufrieden bist, obgleich ich diese für die exakte Lösung zu deinem Problem betrachte, kannst du den Prozess auch gerne bei Excel selbst nachrechnen.

 

Fündig wirst du hier in der Optionspreistheorie, genauer bei der Berechnung von Barrier-Options. Hierbei bedient man sich eines generalisierten Wiener Prozesses um für den Zeitraum die Wahrscheinlichkeit einer Unterschreitung (oder überschreitung) einer gewissen Barriere zu berechnen. Bei dir liegt die dann wohl bei 0.00. Schau hierfür mal bei den tec-docs von Credit Grades vorbei, dort ist die Herangehensweise sicher erklärt.

Das Endergebnis ist eine tatsächliche Wahrscheinlichkeit ob dein Portfolio überlebt oder nicht. Ob man daran glaubt ist eine andere Sache.

 

LG

[soundjunk]

VaR wäre wohl naheliegend, aber da würden mich die Abgänge stören.

Was meinst du damit?

[Jesse_L]

@ one trick pony

Kannst Du dafuer mal nen link posten (tec docs von credit grade) ?

Danke.