Mehrdimensionale Verteilung

[Hellerhof]

Liebe Leute,

 

ich versuche gerade mein Statistikwissen aufzupoliieren und komme an einer Stelle nicht weiter. Daher bitte ich hier um Hilfe. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp.

 

Gegeben sind:

X={1,2,3}, Y={1,2,3}

 

E(X)= 2,05, E(Y²)=3,5, E(XY)=3,45, Cov(XY)=-0,035 und folgende bedingte Häufigkeiten f(x,y) : f(1,1)=0,2 ; f(2,1)=0,1 ; f(2,2)=0,0 ; f(3,2)=0,2 ; f(1,3)=0,05 ; f(2,3)=0,15 ; f(3,3)=0,0

 

Ausgerechnet habe ich dann noch E(Y)=1,7 und Var(Y)=0,61. Der Rechenweg war wie folgt:

 

Für E(Y): Cov(XY)=E(XY) - E(X) * E(Y). Gegebene Werte einsetzen und nach E(Y) auflösen.

 

Für Var(Y): Var(Y)=E(Y²) - E(Y)². Gegebene Werte einsetzen und lösen.

 

Ich suche noch: f(1,2) und f(3,1).

 

Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich auf die fehlenden bedingten Häufigkeiten kommen kann?

[bla]

Ich werfe mal Bayes und totale Wahrscheinlichkeiten in den Raum. Als Erinnerung: P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

 

[4R3S]

Durch die Aufstellung der bedingten Kontigenztabelle.

(ich geh mal davon aus, dass deine Notation für das X bedingt nach Y stehen soll)

 

• F(1|2)=0,8
• F(3|1)=0,7

Ps.: Ray Dalio der Gründer von Bridgewater sagte, dass jede Investmententscheidung welche auf Grundlage von Korrelation bzw. Statistik beruht fehlerhaft ist.

 

 

[Hellerhof]

Vielen Dank für euren Input.

 

Durch verschiedene Rechnungen, mit welchen in mich den gesuchten Werten angenähert habe, bin ich auf die Werte f(1|2) = 0,1 und f(3|1) = 0,2 gekommen. Die Probe mittels des gegebenen Erwartungswertes geht auf. Einen wirklich schönen Lösungsweg habe ich aber leider nicht und suche daher noch weiter. Ich bin also weiterhin für einen guten Tipp offen.

 

(Die von mir oben angegebene Varianz ist allerdings falsch, Var(Y) beträgt 1,8.)

[Hellerhof]

Zur besseren "Illustration" die gegebene Tabelle.

[4R3S]

Deine Lösung kann nicht aufgehen. Die bedingende Variable hat stets den Wert 1 am ende der bedingten Kontigenztabelle! Das ist ja auch der Sinn einer bedingten Verteilung!!!Du beziehst dich ja schließlich auf die zu bedingende Variable.

Nach deiner Rechnung lässt du Werte verschwinden.Du hast ja auch E(X) gegeben, weil du die korrekten Randverteilungen nicht ermitteln kannst!

 

Eine Probe kannst du auch dehalb aus keinem E(X) ziehen. Höchstens aus einem E(X|Y=y).

[bla]

Vielen Dank für euren Input.

 

Durch verschiedene Rechnungen, mit welchen in mich den gesuchten Werten angenähert habe, bin ich auf die Werte f(1|2) = 0,1 und f(3|1) = 0,2 gekommen. Die Probe mittels des gegebenen Erwartungswertes geht auf. Einen wirklich schönen Lösungsweg habe ich aber leider nicht und suche daher noch weiter. Ich bin also weiterhin für einen guten Tipp offen.

 

(Die von mir oben angegebene Varianz ist allerdings falsch, Var(Y) beträgt 1,8.)

 

 

Siehe Beitrag unten: Gilt nur, wenn f(X,Y) multivariate Häufigkeiten sind und keine bedingten!

 

Habe es mal selbst durchgerechnet um einen "schönen" Lösungsweg zu finden. Habe zumindest einen, der kein Bayes und Co verlangt.

 

 

Schauen wir uns mal die Kontigenztafel an - ich habe mal die leeren Kästchen benannt in a und b:

 

 

Wir wissen, dass alle bedingten Wahrscheinlichkeiten in Summe 1 betragen müssen, d.h.:

 

0,2 + 0,1 + a

+ b + 0,0 + 0,2

+ 0,05 + 0,15 + 0,0 = 1

 

(I) 0,7 + a + b = 1

 

So nun brauchen wir noch eine zweite Gleichung, damit wir die Variablen a und b lösen können. Glücklicherweise haben wir den Erwartungswert von X, E(X) = 2,05

 

Dieser wird berechnet als:

 

E(X) = 1 * f(1|.) + 2 * f(2|.) + f(3|.)

 

wobei f(X=x|.) die Randhäufigkeiten sind, d.h. es gilt:

 

f(1|.) = 0,2 + b + 0,5 = 0,25 + b

f(2|.) = 0,1 + 0,0 + 0,15 = 0,25

f(3|.) = a + 0,2 + 0,0 = 0,2 + a

 

Wenn wir die jetzt in E(X) einsetzen bekommen wir:

 

E(X) = 1 * (0,25 + b) + 2 * (0,25) + 3 *(0,2 + a)

(II) E(X) = 0,25 + b + 0,5 + 0,6 + 3a

 

Nun können wir uns b aus (I) schnappen, b = 0,3 - a

 

E(X) = 0,25 + (0,3 - a) + 0,5 + 0,6 + 3a

E(X) = 1,65 + 2a = (gegeben (EX) = 2,05) = 2,05

 

=> a = (2,05 - 1,65)/2 = 0,2

=> b = 0,1

 

Edit: Summe alle Wahrscheinlichkeiten

[4R3S]

Auch das ist falsch.

E(X) kannst du aus einer bedingten Tabelle nicht ablesen ^^.Schlag mal ein Mathebuchlein auf.

E(X) = xi • P(xi) +...(hier ist kein P(xi) gegeben)

Allein dein Versuch die bedingte Kontigenztabelle mit der 1 als Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist hier fehl am Platz, weshalb dein Ansatz auch falsch ist.

[bla]

Hm, hast recht, müsste natürlich für Pfade gelten. Ich glaube das Problem ist, dass das gar keine bedingten Häufigkeiten sind. Wie du richtig sagst, müsste gelten: P(A|B) + P(nicht A|B) = 1. Wenn wir uns jetzt aber z.B. die gegebene Häufigkeiten für Y=3 anschauen, gilt: f(1,3)=0,05 ; f(2,3)=0,15 ; f(3,3)=0,0 => 0,05 + 0,15 + 0,0 = 0,20 != 1

 

Meine Vermutung ist, dass f(1,3) tatsächlich f(1,3) heißen soll und nicht f(1|3).

 

@Hellerhof: Kannst bitte mal nachschauen, was genau in der Aufgabenstellung steht? Danke

 

[Hellerhof]

Hallo bla und Alan,

 

vielen Dank für eure Mühe. In der Aufgabenstellung war lediglich die Tabelle (wie in Post #5) sowie E(X)= 2,05 , E(Y²)=3,5 , E(XY)=3,45 und Cov(XY)=-0,035 gegeben. Die Notation im Eröffnungspost ist auf meinem Mist gewachsen, ich hätte besser sofort die Tabelle eingestellt. Sorry! Die Aufgabenstellung lautet "Füllen Sie die Lücken in der Tabelle!".

 

Wenn ich unsere Lösungen (a=) 0,2 und (b=) 0,1 nutze, um den Erwartungswert E(XY) zu berechnen, dann sieht man folgendes: 1*1*0,2+2*1*0,1+3*1*0,2+1*2*0,1+2*2*0+3*2*0,2+1*3*0,05+2*3*0,15+3*3*0 = 3,45. Genau wie es in der Aufgabenstellung gegeben ist. Daher verstehe ich den Einwand von Alan, dass der Erwartungswert nicht zur Probe taugt, nicht.

 

Für E(X) erhalte ich bei 1*0,35+2*0,25+3*0,4 = 2,05 = E(X), wie es in der Aufgabenstellung gegeben ist.. Passt also auch.

 

Die Summen der Randverteilungen für X und Y ergeben auch jeweils genau 1.

[bla]

Hallo Hellerhof,

 

vielen Dank! Das klärt damit das Rätsel auf.

 

Das große Verständnisproblem lag zwischen dem Wörtchen "bedingt" und der Kontigenztafel. Was die Kontigenztafel - in diesem Fall - angibt (außerhalb der Randhäufigkeiten) ist P(A und B). Bedingte Häufigkeiten hingegen sind P(A|B) = P(A und B) / P(B), d.h. du würdest nochmals durch die Randhäufigkeit teilen. Das wird wahrscheinlich noch alles in deinem Buch(?) ausführlich erklärt.

[Hellerhof]

Hallo bla,

 

ich habe zu danken.

 

Leider gibt es zu der Aufgabe keine Lösung. Ist dein Lösungsweg denn er übliche um solche Aufgaben zu lösen? Gibt es da einen bestimmten Trick?

[bla]

Gerne! Ich weiß nicht, ob das üblich ist für speziell solche Aufgaben, aber ich muss auch sagen, dass ich eine ähnliche Aufgabe vielleicht ein oder zwei mal gesehn habe.

 

Der Trick / Strategie dahinter ist hingegen nützlicher. Wenn du 2 Variablen hast, dann brauchst du 2 verschiedene Gleichungen um genau eine Lösung zu finden. Gehört noch ein bisschen mehr dazu, aber lass ich mal weg (wenn es dich interessiert: Lineares Gleichungssystem). Und dann ging die Suche danach los. Du hattest ja schon selbst gesehen, dass E(X) die 2 Variablen beinhaltet und die andere Gleichung war, dass die Summe aller P(...) = 1 ist und dann bisschen umformen und finito