TerracottaPie Dezember 9, 2010 Nach fast 15 Jahren ohne ernsthafte Beschäftigung mit Mathematik versuche ich gerade, mir selbst wieder einige Grundlagen beizubringen - mit dem schnuckeligen Büchlein "Mathematik zum Studienanfang. Die wichtigsten Grundlagen aus der Schulzeit verständlich erklärt." von Peter Dörsam. Und schon nach wenigen Seiten stoße ich auf die erste Funktion, deren Darstellung ich nicht verstehe. Leider ist sie auch nicht verständlich erklärt. Nämlich: "Wie zuvor schon angedeutet, bestehen ganzrationale Funktionen aus einzelnen Termen mit ganzzahligen Potenzen der Variablen. Sie haben also allgemein ausgedrückt folgende Form: f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1xn1 + a0x0 Was ich nicht verstehe: Was bedeuten die As in dieser Funktion? Hier geht es ja offenbar darum, die Funktion in allgemeiner Form vom größtmöglichen bis zum kleinstmöglichen Term darzustellen, oder? Danke! Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
DON Dezember 9, 2010 Wiki erklärts mal wieder ganz gut, auch was die a's sind Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
xolgo Dezember 9, 2010 "Wie zuvor schon angedeutet, bestehen ganzrationale Funktionen aus einzelnen Termen mit ganzzahligen Potenzen der Variablen. Sie haben also allgemein ausgedrückt folgende Form: f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1xn1 + a0x0 Was ich nicht verstehe: Was bedeuten die As in dieser Funktion? Hier geht es ja offenbar darum, die Funktion in allgemeiner Form vom größtmöglichen bis zum kleinstmöglichen Term darzustellen, oder? Das sind variable Koeffizienten aus R, sprich beliebige Zahlen. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
DON Dezember 9, 2010 "Wie zuvor schon angedeutet, bestehen ganzrationale Funktionen aus einzelnen Termen mit ganzzahligen Potenzen der Variablen. Sie haben also allgemein ausgedrückt folgende Form: f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1xn1 + a0x0 Was ich nicht verstehe: Was bedeuten die As in dieser Funktion? Hier geht es ja offenbar darum, die Funktion in allgemeiner Form vom größtmöglichen bis zum kleinstmöglichen Term darzustellen, oder? Das sind variable Koeffizienten aus R, sprich beliebige Zahlen. Die sind eben nicht variabel sondern fest! Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
xolgo Dezember 9, 2010 Das sind variable Koeffizienten aus R, sprich beliebige Zahlen. Die sind eben nicht variabel sondern fest! Es sind keine Variabeln, aber sie stehen nicht für bestimmte Zahlen, sondern drücken aus, dass an dieser Stelle beliebige Zahlen stehen können. Ob sie jetzt fest oder variabel sind, hängt von der Sichtweise ab. Für eine ganzrationale Funktion sind sie fest, für die Menge aller ganzrationalen Funktionen eines bestimmten Grades sind sie unbestimmt. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
DON Dezember 9, 2010 Yes, so stimmts. Die Aussage, die Koeffizienten seien variabel, ist irreführend. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
TerracottaPie Dezember 9, 2010 Die sind eben nicht variabel sondern fest! Es sind keine Variabeln, aber sie stehen nicht für bestimmte Zahlen, sondern drücken aus, dass an dieser Stelle beliebige Zahlen stehen können. Ob sie jetzt fest oder variabel sind, hängt von der Sichtweise ab. Für eine ganzrationale Funktion sind sie fest, für die Menge aller ganzrationalen Funktionen eines bestimmten Grades sind sie unbestimmt. Okay, danke. So richtig verstehe ich es trotzdem nicht. Wenn sie für eine ganzrationale Funktion fest sind, dann kann ich hier für a also nur eine einzige Zahl einsetzen? Nein, oder? Seid nachsichtig mit mir, ich wusste bis vor 3 Minuten nicht mal, was genau ein Koeffizient ist... Also: f(x) = 2x4 + 3x3 + 1x2 + 4x1 + 1x0 wäre ein Beispiel für den allgemeinen Ausdruck oben, oder? Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
DON Dezember 9, 2010 Es sind keine Variabeln, aber sie stehen nicht für bestimmte Zahlen, sondern drücken aus, dass an dieser Stelle beliebige Zahlen stehen können. Ob sie jetzt fest oder variabel sind, hängt von der Sichtweise ab. Für eine ganzrationale Funktion sind sie fest, für die Menge aller ganzrationalen Funktionen eines bestimmten Grades sind sie unbestimmt. Okay, danke. So richtig verstehe ich es trotzdem nicht. Wenn sie für eine ganzrationale Funktion fest sind, dann kann ich hier für a also nur eine einzige Zahl einsetzen? Nein, oder? Seid nachsichtig mit mir, ich wusste bis vor 3 Minuten nicht mal, was genau ein Koeffizient ist... Also: f(x) = 2x4 + 3x3 + 1x2 + 4x1 + 1x0 wäre ein Beispiel für den allgemeinen Ausdruck oben, oder? So isses. Wobei a nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein muss, wie in deinem Bsp. a kann auch -2, -3/5, oder auch irrational, zB Pi oder e oder Wurzel(2) sein. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
TerracottaPie Dezember 9, 2010 Prima, danke. Ich melde mich sicher bald wieder... ;-) Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
Stairway Dezember 9, 2010 Es sind keine Variabeln, aber sie stehen nicht für bestimmte Zahlen, sondern drücken aus, dass an dieser Stelle beliebige Zahlen stehen können. Ob sie jetzt fest oder variabel sind, hängt von der Sichtweise ab. Für eine ganzrationale Funktion sind sie fest, für die Menge aller ganzrationalen Funktionen eines bestimmten Grades sind sie unbestimmt. Okay, danke. So richtig verstehe ich es trotzdem nicht. Wenn sie für eine ganzrationale Funktion fest sind, dann kann ich hier für a also nur eine einzige Zahl einsetzen? Nein, oder? Seid nachsichtig mit mir, ich wusste bis vor 3 Minuten nicht mal, was genau ein Koeffizient ist... Also: f(x) = 2x4 + 3x3 + 1x2 + 4x1 + 1x0 wäre ein Beispiel für den allgemeinen Ausdruck oben, oder? Also nach meiner Auffassung, müsste nach dem obigen Term, vor den x-en stets die selbe Zahl stehen. Denn wenn man die Variable a einmal vergeben hat, dann sollte diese doch auch immer gleich bleiben, oder ? Das ändert nun nichts an der eigentlichen Aussage, aber ich meine nur. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
Akaman Dezember 9, 2010 · bearbeitet Dezember 9, 2010 von Akaman Also nach meiner Auffassung, müsste nach dem obigen Term, vor den x-en stets die selbe Zahl stehen. Denn wenn man die Variable a einmal vergeben hat, dann sollte diese doch auch immer gleich bleiben, oder ? Das ändert nun nichts an der eigentlichen Aussage, aber ich meine nur. Naja, ich weiss nicht. Da steht doch einmal an und dann an-1 usw usf. Das sind doch unterschiedliche Werte, oder? Bin aber totaler Mathe-Durchschuss, deshalb: keine Garantie. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
Stairway Dezember 9, 2010 Also nach meiner Auffassung, müsste nach dem obigen Term, vor den x-en stets die selbe Zahl stehen. Denn wenn man die Variable a einmal vergeben hat, dann sollte diese doch auch immer gleich bleiben, oder ? Das ändert nun nichts an der eigentlichen Aussage, aber ich meine nur. Naja, ich weiss nicht. Da steht doch einmal an und dann an-1 usw usf. Das sind doch unterschiedliche Werte, oder? Bin aber totaler Mathe-Durchschuss, deshalb: keine Garantie. Merkwürdig, das hatte ich vorhin gar nicht gesehen. Stimmt dann natürlich. (Ich muss mal wieder zum Optiker). Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
gebe_nix Dezember 10, 2010 Also: f(x) = 2x4 + 3x3 + 1x2 + 4x1 + 1x0 wäre ein Beispiel für den allgemeinen Ausdruck oben, oder? Richtig, aber man würde es normalerweise ein klein wenig anders hinschreiben. Denn was ist x0 ? Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
Schinzilord Dezember 10, 2010 x^0 = 1 oder allgemein: (vollkommenegalwas)^0 vollkommegalwas C Ganz allgemein ist das was oben steht ein Polynom n-ten Grades. Einfach zu differenzieren und integrieren, stetig und leicht zu approximieren. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
DON Dezember 10, 2010 x^0 = 1 oder allgemein: (vollkommenegalwas)^0 vollkommenegalwas auch = 0 ?? B) Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
gebe_nix Dezember 10, 2010 · bearbeitet Dezember 10, 2010 von gebe_nix "Wie zuvor schon angedeutet, bestehen ganzrationale Funktionen aus einzelnen Termen mit ganzzahligen Potenzen der Variablen. Sie haben also allgemein ausgedrückt folgende Form: f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1xn1 + a0x0 Ganz allgemein ist das was oben steht ein Polynom n-ten Grades. Einfach zu differenzieren und integrieren, stetig und leicht zu approximieren. Ich habe das ganze gerade nochmal gründlich gelesen. Eine ganzrationale Funktion lässt auch negative ganzzahlige Exponenten zu. Insofern ist der allgemeine Ausdruck (Fehler im Buch ?!): f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0x0 + a-1x-1 + ... + a-kx-k Insofern ist ein Polynom zwar eine ganzrationale Funktion, aber die Funktion f(x) = 1/x ist ganzrational aber kein Polynom. x^0 = 1 oder allgemein: (vollkommenegalwas)^0 vollkommenegalwas auch = 0 ?? B) Ja! Das ist die Definition von x0! Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
DON Dezember 10, 2010 "Wie zuvor schon angedeutet, bestehen ganzrationale Funktionen aus einzelnen Termen mit ganzzahligen Potenzen der Variablen. Sie haben also allgemein ausgedrückt folgende Form: f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1xn1 + a0x0 Ganz allgemein ist das was oben steht ein Polynom n-ten Grades. Einfach zu differenzieren und integrieren, stetig und leicht zu approximieren. Ich habe das ganze gerade nochmal gründlich gelesen. Eine ganzrationale Funktion lässt auch negative ganzzahlige Exponenten zu. Insofern ist der allgemeine Ausdruck (Fehler im Buch ?!): f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0x0 + a-1x-1 + ... + a-kx-k Insofern ist ein Polynom zwar eine ganzrationale Funktion, aber die Funktion f(x) = 1/x ist ganzrational aber kein Polynom. vollkommenegalwas auch = 0 ?? B) Ja! Das ist die Definition von x0! Normalerweise sind die Exponenten natürlich und 0^0 nicht definiert. Obwohl da garantiert kein Konsens herrscht und das von Buch zu Buch verschieden definiert wird, macht den Kohl aber auch nicht fett. Insb. bei 0^0 sagt die Mehrheit aber, dies sei nicht definiert. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
TerracottaPie Dezember 10, 2010 Ja, im Buch werden die Begriffe Polynom und ganzrationale Funktion synonym gebraucht. Ist aber ausdrücklich so erklärt und zumindest nicht einfach eine versehentliche Fehlleistung. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
Schinzilord Dezember 10, 2010 Mathematisch gesprochen: Ein Polynom ist hinreichend für eine ganzrationale Funktion, jedoch nicht notwendig. (oder so...) Bei der Null scheiden sich immer die Geister. Manche Mathematiker definieren sie explizit: x R0, also nur dann ist die 0 auch dabei. Bei manchen ist sie immer dabei. Keine Ahnung was da der tiefere Sinn ist, soweit bin ich nie in die Mathematik eingestiegen. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
kernam Dezember 13, 2010 Hallo zusammen, mein Studium ist zwar schon ein paar Jahre her aber vielleicht kann ich doch noch 1-2 ct. Beitragen. Ja, im Buch werden die Begriffe Polynom und ganzrationale Funktion synonym gebraucht. Ist aber ausdrücklich so erklärt und zumindest nicht einfach eine versehentliche Fehlleistung. Laut wikipedia ist eine ganzrationale Funktion folgendermaßen definiert: Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Das wichtigste in Mathe ist meiner Meinung nach zu begreifen, dass eine (mathematische) Definition in sich nicht logisch zu sein braucht. Sie stellt lediglich ein Postulat dar, was man (ggf. lediglich der Author eines Buches) unter einem bestimmten Begriff verstehen möchte. Hoffe das hilft dir ein Stück. Ich fand die Erkenntnis damals sehr hilfreich. Viele Grüße und viel erfolg und Spass mit Mathe kernam Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
gebe_nix Dezember 13, 2010 Ich werde mich mit dem Sprachgebrauch der Schulmathematik nie anfreunden.... Also, ihr habt recht: Eine "ganzrationale Funktion" ist eine andere Bezeichnung für ein Polynom. Allerdings ist es unglücklich, wenn Herr Dörsam dann von "ganzzahligen Exponenten" spricht. Denn eine ganze Zahl ist z.B. auch "-1". Vielmehr meint er "natürliche Exponenten" (falls 0 für ihn eine natürliche Zahl ist) oder "nicht-negative ganzzahlige Exponenten". Bei dem zweiten Punkt habe ich aber 100% recht: x^0 := 0 für alle reellen Zahlen Falls jemand zweifeln sollte, die Gegenfrage: Warum sollte man 0^0 nicht definieren? Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
unser_nobbi Dezember 13, 2010 Ich werde mich mit dem Sprachgebrauch der Schulmathematik nie anfreunden.... Also, ihr habt recht: Eine "ganzrationale Funktion" ist eine andere Bezeichnung für ein Polynom. Allerdings ist es unglücklich, wenn Herr Dörsam dann von "ganzzahligen Exponenten" spricht. Denn eine ganze Zahl ist z.B. auch "-1". Vielmehr meint er "natürliche Exponenten" (falls 0 für ihn eine natürliche Zahl ist) oder "nicht-negative ganzzahlige Exponenten". Bei dem zweiten Punkt habe ich aber 100% recht: x^0 := 0 für alle reellen Zahlen Falls jemand zweifeln sollte, die Gegenfrage: Warum sollte man 0^0 nicht definieren? x^0 := 1 für alle reellen Zahlen <> 0. Ich denke, für den Fall x = 0 ist es nicht definiert. Wenn Du es aber auf "=1" definieren würdest, hättest Du zumindest den Vorteil, dass F(x) = x^0 stetig wäre .... Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
gebe_nix Dezember 13, 2010 Warum sollte man 0^0 nicht als 1 definieren? Ganz klar: x^0 := 1 für alle reellen Zahlen. Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
xolgo Dezember 13, 2010 Ganz klar: x^0 := 1 für alle reellen Zahlen. Warum "ganz klar"? Kann man so definieren, muss man nicht. http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#.E2.80.9ENull_hoch_null.E2.80.9C Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
vanity Dezember 13, 2010 Warum sollte man 0^0 nicht als 1 definieren? Ganz klar: x^0 := 1 für alle reellen Zahlen. Und 0^x := 0 für alle reellen Zahlen. :'( Wenn f(x)=x^0 stetig sein soll, verlange ich dasselbe für f(x)=0^x. Gleiches Recht für alle! Diesen Beitrag teilen Link zum Beitrag
