Sharpe Ratio, diskrete/stetige Renditen

[bjoern86]

Hallo,

 

ich bin neu hier - ich hoffe ich habe mit "Allgemeinem Börsenwissen" das richtige Forum gewählt, ansonsten bitte ich den Admin den Thread entsprechend zu verschieben.

 

Im Rahmen einer Hausarbeit soll ich Fonds hinsichtlich ihrer Performance vergleichen. Nachdem ich mich hier etwas belesen habe entschied ich mich für die Sharpe Ratio als Performancemaß. Nun hab ich diese für einen Fonds berechnet, anbei das Ergebnis. Allerdings frage ich mich ob ich alles richtig gemacht habe, da die SR der diskreten Renditen stark von denen der stetigen abweicht. Unsicher bin ich mir vor allem bei der Annualisierung. Es wäre nett könnte jemand über die Excel Datei rüberschauen.

 

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

Sharpe.xls

[vanity]

Willkommen im Forum, bjoern86!

 

Mir fällt folgendes auf:

 

1. Performanceberechnung diskret: Üblich ist (B100-B99)/B99 statt (B100-B99)/B100 (also die Steigerung auf die Vorperiode bezogen)

 

2. Standardabweichung: okay

 

3. Mittelwert: Hier rechnest du nicht den Mittelwert, sondern über die Produktibildung wieder eine Gesamtperformance aus (20%, wenn die Änderung zu 1. berücksichtigt ist). Funktion Mittelwert statt Produkt verwenden.

 

4. SR wird wegen der Vergleichbarkeit auf annualisierte Werte angewandt, so dass Zeile 130 wenig Sinn ergibt. Wenn überhaupt, müsste hier mit einem Monats- anstelle Jahreszins gerechnet werden.

 

5. SR ist nur sinnvoll bei positiven Werten, da bei dir der risikofreie Zins über der Fondsrendite liegt, kannst du mit SR hier nichts anfangen

 

6. Annualisierung Standardweichung: Es wird nicht mit Wurzel aus Anzahl der betrachteten Perioden annualisiert, sondern mit Wurzel aus Anzahl der Perioden pro Jahr (also hier Wurzel (12), da du von Monatswerten ausgehst.

 

7. Annualisierung Mittelwert (Performance): Hier verwendest du den unkorrigierten Wert. Annualisierung (Monat -> Jahr) über (Mittelwert)^12

 

8. wenn du von August bis August rechnest, sind das ein Vielfaches von 12 Perioden (also 120 und nicht 119)

 

Geändertes Sheet stelle ich hier gleich noch dazu:Sharpe_korrigiert.xls

 

Nachtrag: Im Sheet ist jetzt noch die ann. Mittelwertberechnung (7.) dahingehend geändert, dass an Stelle der Potenzierung der Monatsmittelwerte die Gesamtperformance 10 Jahre durch Wurzel (10) 10-te Wurzel aufs Jahr umgerechnet wird. Dies ist das exaktere Verfahren, insbesondere bei starken Schwankungen (mittl. jährliche Rendite 1,92% ggü. 3,16%).

 

Als risikofreien Zins habe ich einfach 1,5% eingesetzt, damit sich pos. SR ergibt. Den risikofreien Zins einfach von der Anfangsperiode zu nehmen, halte ich für methodisch nicht korrekt. Allerdings weiß ich auch nicht, welcher Wert hier am besten geeignet ist (Durchschnittszins des betrachteten Zeitraums?). Hier könnte sich noch mal ein Experte äußern.

 

 

Diskussion an anderer Stelle: https://www.wertpapier-forum.de/topic/31883-sharpe-und-varianzberechnung-mit-taeglichen-daten-bitte-um-hiflfe/?do=findComment&comment=577238

[klausk]

Mangels eigener Erkenntnisse werfe ich hier mal was über die Sharpe-Ratio ein:

 

"Recently, the (original) Sharpe ratio has often been challenged with regard to its appropriateness as a fund performance measure during evaluation periods of declining markets."

 

Wir sind in einem declining market, richtig?

[etherial]

2. Standardabweichung: okay

 

3. Mittelwert: Hier rechnest du nicht den Mittelwert, sondern über die Produktibildung wieder eine Gesamtperformance aus (20%, wenn die Änderung zu 1. berücksichtigt ist). Funktion Mittelwert statt Produkt verwenden.

 

Das würde bedeuten, dass man sich bei der Berechnung des Sharpe-Ratios auf die arithmetische Rendite bezieht - und nicht die korrekte geometrische Rendite. Weiß nicht ob das so richtig ist:

 

Wikipedia sagt:

SharpRatio(Aktie) = Überrendite(Aktie)/Standardabweichung(Aktie) mit

Überrendite(Aktie) = ArithMittelwert(Rendite(Aktie)-Rendite(Geldmarkt))

Das würde für deine Annahme sprechen.

 

In meinen schlauen Büchern steht jedoch:

SharpRatio(Aktie) = Überrendite(Aktie)/Standardabweichung(Aktie) mit

Überrendite(Aktie) = gemessene annualisierte Portfoliorendite(Rendite) - gemessene annualisierte Portfoliorendite(Geldmarkt))

Das würde dagegen sprechen.

[Norbert-54]

Über die Verwendung der arithmetischen bzw. der geometrischen Renditen wurde schon viel diskutiert.

 

Man sollte sich jedoch darüber im Klaren sein, dass die arithmetischen Renditen meist größer sind als die geometrischen Renditen. Der Unterschied steigt mit zunehmender Volatilität.

 

Ich verwende normalerweise die geometrische Rendite weil das diejenige ist, die im meinem Geldbeutel spürbar ist.

[vanity]

Wikipedia sagt:

SharpRatio(Aktie) = Überrendite(Aktie)/Standardabweichung(Aktie) mit

Überrendite(Aktie) = ArithMittelwert(Rendite(Aktie)-Rendite(Geldmarkt))

Das würde für deine Annahme sprechen.

 

In meinen schlauen Büchern steht jedoch:

SharpRatio(Aktie) = Überrendite(Aktie)/Standardabweichung(Aktie) mit

Überrendite(Aktie) = gemessene annualisierte Portfoliorendite(Rendite) - gemessene annualisierte Portfoliorendite(Geldmarkt))

Das würde dagegen sprechen.

Ich würde eher deinen schlauen Büchern als Wiki Glauben schenken (und hatte es deshalb noch in meinem Beitrag abgeändert). Der Unterschied ist gering, wenn das Portfolio schwankungsarm ist und wird erheblich, wenn die Schwankung hoch ist. Das Extrembeispiel, um den Unterschied zu verdeutlichen ist die Performanceabfolge +100% -50%. Das arithm. Mittel suggeriert eine Rendite von 25%, in Wirklichkeit ist sie 0%.

 

Etwa realistischere Beispiele aus meinem Fundus: Bei einer schwankungsarme Reihe mit Vola von 2,7% führen tatsächlich beide Methoden auf gleiches Ergebnis in der 2. Nachkommastelle. Bei einer zweiten Reihe mit einer Vola von 6,2% liegt der Unterschied schon ca. 10% (6,2% vs. 5,5% Rendite). Im Zahlenbeipiel des Themas liegen wir noch höher bei 1,9% vs. 2,6% (bei Vola 15%).

 

Die genauere Rendite lässt sich über zwei Wege errechnen:

1. (K_n/K₀)^(1/T)-1 mit T=Zeitraum in Jahren - so steht's jetzt im Sheet

2. (Produkt_i=1..n(1+p_i)^(1/T)-1

Bei Verwendung der stetigen Rendite hat man das Problem nicht, denn (konstruktionsbedingt) lassen sich die Einzelrenditen sehr schön addieren und arithm. mitteln.

 

@Norbert: In den (realistätsnahen) Beispielen ist einmal die arithm. Rendite höher, einmal die geometrische. Ich würde auch die geometrische Vorgehensweise als die exakte betrachten.

 

Hat noch jemand was zum risikofreien Zins zu sagen, dass würde mich wirklich interessieren? (Ich habe mich mit mir auf 3% geeinigt)

[bjoern86]

Vielen Dank für eure Antworten.

 

1. Zu diskreten Renditen und Mittelwert

Falls ich mich nun dazu entscheide den Mittelwert der diskreten Renditen über das geometrische Mittel zu berechnen mach ich das wie folgt, oder?

(PRODUKT(E3:E122))^(1/120)-1 --> 0,00158...

Bei der Annualisierung potenziere oder multipliziere ich nun dieses Ergebnis mit 12? Ich hätte es multipliziert, da beim potenzieren ein Wert nahe 0 rauskommt.

 

2. Zum risikofreien Zins

Ich dachte mir ich nehme den Monatsendzins des Monats August 00 für Bundeswertpapiere mit einer RLZ von 10 Jahren, da Bundeswertpapiere bei maturity matching ja "risikolos" sind. Vanity hält dies methodisch nicht für ganz korrekt, hat jemand hierzu noch eine andere Idee?

[vanity]

1. Zu diskreten Renditen und Mittelwert

Falls ich mich nun dazu entscheide den Mittelwert der diskreten Renditen über das geometrische Mittel zu berechnen mach ich das wie folgt, oder?

(PRODUKT(E3:E122))^(1/120)-1 --> 0,00158...

Okay! Das ist die monatliche Rendite.

Bei der Annualisierung potenziere oder multipliziere ich nun dieses Ergebnis mit 12? Ich hätte es multipliziert, da beim potenzieren ein Wert nahe 0 rauskommt.

Potenzieren! Aber vorher +1 dazuadiieren und anschließend wieder abziehen. (1+p_m)^12-1)

 

2. Zum risikofreien Zins

Ich dachte mir ich nehme den Monatsendzins des Monats August 00 für Bundeswertpapiere mit einer RLZ von 10 Jahren, da Bundeswertpapiere bei maturity matching ja "risikolos" sind. Vanity hält dies methodisch nicht für ganz korrekt, hat jemand hierzu noch eine andere Idee?

Würde mich auch interessieren. Dein Ansatz ist schon nachvollziehbar. Wenn du allerdings ohnehin von einem festen Investionszeitraum (10 Jahre) ausgehst, brauchst du überhaupt kein Sharpe Ratio, weil dir zwischenzeitliche Schwankungen eigentlich egal sein können.

 

Hier lässt sich wieder schön die Doppeldeutigkeit des Begriffs Risiko ablesen. Du gebrauchst sie im Sinne von ausfallsicher. In der Sharpe-Formel wird sie im Sinne von schwankungsarm benutzt (denn natürlich schwankt auch die Performance einer 10-jährigen Bund im Laufe ihrer Lebensdauer, was auch für den von etherial eingesetzten Geldmarktzins gilt). Bei der ausführlichen Deifinition der SR wird deshalb auch im Nenner noch die Differenz der beiden Volas gebildet.

[bjoern86]

Danke!

 

Ich hatte nun vor neben der SR die Treynor Ratio zu berechnen. Hierfür benötige ich das beta, welches doch einfach die Kovarianz der Renditen von Fonds und Index dividiert durch die Varianz des Index ist? Ich habe Monatsrenditen verwendet, muss hier auch noch etwas annualisiert werden? Ich habe alles soweit schonmal schnell über Excel berechnet anbei die Datei.

beta.xls

[Norbert-54]

 

 

@Norbert: In den (realistätsnahen) Beispielen ist einmal die arithm. Rendite höher, einmal die geometrische. Ich würde auch die geometrische Vorgehensweise als die exakte betrachten.

 

Hat noch jemand was zum risikofreien Zins zu sagen, dass würde mich wirklich interessieren? (Ich habe mich mit mir auf 3% geeinigt)

 

Habe für den DAX die arithemtischen und stetigen Renditen gerechnet und die geometrischen Renditen davon abgezogen. Die arithmetrische Rendite ist tatsächlich manchmal niedriger als die geometrische.

 

Die stetige Rendite scheint bei stärkeren Ausschlägen des DAX- Kurses modulierend zu wirken. Möglicherweise doch die "bessere" Rendite? Sie könnte dann ins Auge gefasst werden, wenn man Kursen zur Prognose hinzuziehen möchte.

 

 

 

 

Norbert

[vanity]

Ich hatte nun vor neben der SR die Treynor Ratio zu berechnen. Hierfür benötige ich das beta, welches doch einfach die Kovarianz der Renditen von Fonds und Index dividiert durch die Varianz des Index ist? Ich habe Monatsrenditen verwendet, muss hier auch noch etwas annualisiert werden? Ich habe alles soweit schonmal schnell über Excel berechnet anbei die Datei.

M. E. gibt es beim Beta nichts zu annualisieren, wenn du dann aber Treynor daraus ermittelst, solltest du wiederum die Renditen annualisieren.

 

Ich glaube aber, du hast gerade ein anderes Problem: So wie dem MSCI Welt des Öfteren Gewalt angetan wird, indem er als Benchmark missbraucht wird, scheint er mir hier als Referenzportfolio zu deinem Fonds wenig geeignet: Die Korrelation zwischen dem Fonds und dem MSCI ist mit 0,14 ziemlich gering. Die Treynor-Ratio wird dementsprechend gering ausfallen (0,3). Ich hatte Treynor so verstanden, dass er eine Maßzahl für ähnliche Portfolios (Teilportfolios) bildet. Ich bin mir nicht sicher, ob diese Voraussetzung bei einer so geringen Korrelation noch gegeben ist.

 

Ich habe dann noch technisches (Excel-) Problem: Ich habe Beta alternaiv über Korrelation und die beiden Standardabweichungen ermittelt. Es sollte dasselbe herauskommen wie bei deiner Formel via Varianz/Kovarianz, tut es aber nicht (0,119 gegen 0,130 - für eine Rechenungenauigkeit ist mir die Abweichung zu groß).

 

@Norbert: Ob es wohl eine Systematik gibt, warum die geometrische Rendite stets größer als die stetige ist? Und die arithmetische stets größer als die stetige? Und dass die Differenz ggü. der geometrischen Rendite bei arithm. und stetiger Rendite einen sehr ähnlichen Verlauf aufweist? Hmm .. Kannst du spaßeshalber noch die Differenz arithmetisch/steig einzeichnen?

[Schinzilord]

 

@Norbert: Ob es wohl eine Systematik gibt, warum die geometrische Rendite stets größer als die stetige ist? Und die arithmetische stets größer als die stetige? Und dass die Differenz ggü. der geometrischen Rendite bei arithm. und stetiger Rendite einen sehr ähnlichen Verlauf aufweist? Hmm .. Kannst du spaßeshalber noch die Differenz arithmetisch/steig einzeichnen?

Ich weiß zwar nicht, das du mit stetig in dem Zusammenhang meinst, aber ein paar allgemeine Aussagen kann ich treffen:

stetig / kontinierlich vs. diskret: Kurszeitreihen sind immer diskret, einfach weil eine Kursfeststellung nach der anderen kommt.

 

Allgemein gibt es 3 Arten von Renditen (respektive Mittelwerte):

1. Arithmetische Rendite / Mittel:

Dies entspricht einem Schwerpunktmodell. Dabei werden z.B. die einzelnen Monatsrenditen aufsummiert und durch die Anzahl der Monate geteilt.

In der Finanzanalyse wird die arithmetische Rendite verwendet für cashflows, die man in die Zukunft tragen muss, oder für Statements, wie sich die Rendite in einem zukünftigen Monat / Jahr entwickeln könnte. Also nur für einzelne Zeitperioden, nicht für Zeitverläufe.

Dafür braucht man die

 

2. Geometrische Rendite / Mittel: (compund growth rate, also die kummulierte Rendite).

Die Rendite gibt an, wie sich die Performance über mehrere Betrachtungszeiträume hinweg entwickelt hat / entwickeln wird.

 

Es ist mathematisch leicht zu zeigen, dass IMMER gilt:

 

R_arithmetisch >= R_geometrisch

 

Als Abschätzung kann gegeben werden:

 

R_geometrisch ~ R_arithmetisch - (sigma^2 / 2).

 

Nur wenn die Standardabweichung gleich null ist, also keine Schwankung vorliegt, sind die beiden Renditen gleich groß.

Einen schönen abstrakteren Zusammenhang gibt folgendes Bild.

 

3. Harmonische Rendite / Mittel (für cost averaging verwendet) . Hat keine so große Bedeutung.

Allgemein gilt:

R_harmonisch < R_geometrisch < R_arithmetisch

und

R_harmonisch = (R_geometrisch)^2 / R_arithmetisch

[bjoern86]

Ich habe dann noch technisches (Excel-) Problem: Ich habe Beta alternaiv über Korrelation und die beiden Standardabweichungen ermittelt. Es sollte dasselbe herauskommen wie bei deiner Formel via Varianz/Kovarianz, tut es aber nicht (0,119 gegen 0,130 - für eine Rechenungenauigkeit ist mir die Abweichung zu groß).

 

 

 

Ich habe in Excel das beta nochmal "zu Fuss" ausgerechnet, komme nun auch auf die 0,13. Dies ist auch der Fall wenn man in Excel anstatt VARIANZ VARIANZEN verwendet. Die 0,13 sollten somit richtig sein. Anbei die Excel Datei.

beta_2.xls

[Norbert-54]

@Norbert: Ob es wohl eine Systematik gibt, warum die geometrische Rendite stets größer als die stetige ist? Und die arithmetische stets größer als die stetige? Und dass die Differenz ggü. der geometrischen Rendite bei arithm. und stetiger Rendite einen sehr ähnlichen Verlauf aufweist? Hmm .. Kannst du spaßeshalber noch die Differenz arithmetisch/steig einzeichnen?

 

Vanity,

 

Die stetige Rendite erreicht maximal die geometrische Rendite. Bin kein Mathe Genie, es könnte jedoch mit der Verwendung des natürlichen Logarithmus bei der Berechnung der stetigen Rendite einerseits und der Wurzel bei der geometrischen Rendite andererseits zusammenhängen. Die stetige Rendite ist also nach oben bis zur geometrischen Rendite gedeckelt.

 

Ansonsten hat sie Analogien zur arithmetrischen Rendite und ist daher dann ähnlich im Verlauf dazu.

 

Die Graphik mit der Differenz arithmetrisch - stetig:

 

 

Norbert

[Viktoriya]

Hallo zusammen,

 

ich habe versucht die Volatilität und die diskrete Rendite für einen bestimmten Fonds auszurechnen. Der Fonds ist neu, so dass ich die Zeitreihen nur über 6 Monate auf täglicher Basis habe. Kann mir jemand sagen, ob ich trotz wenig zur Verfügung stehenden Daten eine Annualisierung nach den oben besprochenen Formeln vornehmen kann? Ich würde also wie folgt rechnen:

(1+geom.Mittel der Tagesrenditen)^250= annualisierte Jahresrendite

Volatilität= Standardabweichung der Tagesrenditen x Wurzel aus 250.

 

Sind meine Überlegungen grundsätzlich richtig oder darf man eine Annualisierung nicht vornehmen, wenn die Zeitreihen kürzer als 1 Jahr sind?

 

Danke im Voraus,

 

Viktoriya

[Harrymon12]

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