Warum alle klassischen Modelle beruhend auf Normalverteilungen falsch sind...

[Schinzilord]

Hallo!

 

Rein klassisch statistisch gesehen dürfte es solche Crashs wie 2001-2003, 2008, 1987 etc. nicht mit dieser Häufigkeit geben.

Aber eben diese klassische Statistik wird z.b. für die effiziente Portfoliotheorie hergenommen, für Black-Scholes Modell etc...

 

Ich möchte euch sensibilisieren für eine Erweiterung, welche den realen Marktverlauf wesentlich besser beschreibt, um böse Überaschungen zu vermeiden.

 

Ausgehend von B.B. Mandelbrots Buch "The (mis)behavior of markets" habe ich mich mit fraktaler Geometrie beschäftigt.

 

Ich habe nun mein Programm zur Simulation von Rendite und Varianz dahingehend erweitert, dass man neben der Normalverteilung auch noch die Rendite mittels (multi)fraktaler Geometrie simulieren kann.

Und herausgekommen sind z.B. folgende Charts im Anhang.

 

Ich bin mir sicher, dass kein Charttechniker diesen Chart als "Fälschung" erkennen würde. Im Anhang ist neben des Indexstands auch noch die tägliche Veränderung angegeben, welche sich doch erheblich von einer Normalverteilung unterscheidet.

 

Demzufolge ist das Risiko real viel höher, als man es annehmen würde. Gesehen auch z.b. 2008, wenn in Krisenzeit sich Korrelationen so verändern, dass plötzlich alle Anlageklassen abgewatscht werden.

 

Hier der link zu meinem Programm:

Simulationsprogramm

 

 

 

Ist euch dieses Problem bewusst, wenn ja, wie reagiert ihr darauf? Einfach hoffen, dass ihr bei eurer nächsten option nicht ausgeknockt werdet?

 

Bin für jeden comment dankbar.

Das soll bitte keine abgehobene mathematische Diskussion werden, sondern es darf sich jeder ermuntert fühlen, mitzudiskutieren.

 

Edit: broken link

[Stairway]

Hallo!

 

Rein klassisch statistisch gesehen dürfte es solche Crashs wie 2001-2003, 2008, 1987 etc. nicht mit dieser Häufigkeit geben.

Aber eben diese klassische Statistik wird z.b. für die effiziente Portfoliotheorie hergenommen, für Black-Scholes Modell etc...

 

Das Problem von Black-Scholes ist ja eben, dass eine Normalverteilung der Tagesschwankungen angenommen wird - dem ist aber nicht so. Aktienkurse sind eben nur fast normalverteilt, die Enden sind allerdings dicker. Was passiert wenn man das nicht beachtet hat man ja bei LTCM gesehen.

[H.B.]

Das finde ich ja richtig spannend.

 

Dein Programm würde ich mir ja gern anschauen.

Mein Rechner kann aber mit exe-files nichts anfangen.

Hast du auch den Source-Code, damit ich das Teil unter Linux zum laufen bekommen?

[Schinzilord]

@ Stairway: Evtl. können wir ja noch ein paar Leute für die Problematik sensibilisieren...

Das Problem von Black-Scholes ist ja eben, dass eine Normalverteilung der Tagesschwankungen angenommen wird - dem ist aber nicht so. Aktienkurse sind eben nur fast normalverteilt, die Enden sind allerdings dicker. Was passiert wenn man das nicht beachtet hat man ja bei LTCM gesehen.

Eben diese dickeren Ende kann ich mit dem Algorithmus simulieren, deswegen auch die ganzen Ausreißer im Graphen.

 

@ ficoach: Ich hab es unter (bitte nicht lachen) visual basic 6 programmiert. Kann dir aber gerne den Sourcecode schicken, wenn du damit was anfangen kannst.

Ist halt noch unsauber und unkommentiert, deswegen wollte ich ihn noch nicht veröffentlichen. Schick mir einfach eine message, dann bekommst du ihn.

Evtl. gehts aber mit wine, da ich ja keine besonderen bibliotheken brauche.

[unser_nobbi]

Ausgehend von B.B. Mandelbrots Buch "The (mis)behavior of markets" habe ich mich mit fraktaler Geometrie beschäftigt.

 

Ich habe nun mein Programm zur Simulation von Rendite und Varianz dahingehend erweitert, dass man neben der Normalverteilung auch noch die Rendite mittels (multi)fraktaler Geometrie simulieren kann.

Und herausgekommen sind z.B. folgende Charts im Anhang.

 

Ich bin mir sicher, dass kein Charttechniker diesen Chart als "Fälschung" erkennen würde. Im Anhang ist neben des Indexstands auch noch die tägliche Veränderung angegeben, welche sich doch erheblich von einer Normalverteilung unterscheidet.

 

Demzufolge ist das Risiko real viel höher, als man es annehmen würde. Gesehen auch z.b. 2008, wenn in Krisenzeit sich Korrelationen so verändern, dass plötzlich alle Anlageklassen abgewatscht werden.

 

Hier der link zu meinem Programm:

Simulationsprogramm

 

Interessant ... nur ein kleiner Hinweis:

 

Wenn ichs auf meinem NB laufen lasse, wird ein Teil der Parameter unten abgeschnitten (und das Programm steigt mit ner Meldung aus).

Wenn ich das Fenster deshalb verkleiner, erscheint keine Scrollbar .... lauft also nur ab einer bestimmten Bildschirmmindestgroesse.

 

Was mich interessieren wuerde, waere der "Hauptalgorithmus" - meinetwegen auch als Pseudocode.

[Malvolio]

Für mich hat das praktisch keine Bedeutung. All diese Modelle erzeugen eh nur eine Kontrollillusion. Aber letztendlich ist alles nur Zufall. Die finanzwirtschaftlichen Modelle sind dabei nur Krücken, mit denen man im Nebel des Zufalls stochern kann. Aber Beiträge wie von Mandelbrot sind schon wichtig und interessant und sollten nicht so konsequent ignoriert werden. Es kann nicht schaden dem meachnistischen Glauben in die Allmacht scheingenauer mathematischer Modelle in der "modernen" BWL und VWL mal etwas heiße Luft abzulassen.

 

Die angewandten Modelle machen aber aus meiner Sicht aber durchaus Sinn, solange man sich über ihre Mängel klar ist und entsprechende Vorsicht walten lässt. Ein präzises Verfahren zur Bewertung von Optionen oder zur Optimierung von Portfolien wird es ohnehin nie geben.

[Schinzilord]

@nobbi: Danke für den Hinweis, ich habs überarbeitet, ist jetzt im Breitbildformat.

Leider muss man noch den Pfad zum File selbst angeben, denn wenn das Programm ihn nicht findet, bricht er ab.

 

Hier also die Theorie dahinter:

 

Annahme: Normalverteilung mit veränderlicher Varianz

 

Berechnung einer Varianzverteilung mittels "multiplikative cascading":

 

2 hoch n Intervalle [0;1] n Iterationen:

Schritt 1: 2 Intervalle [0:0,5] [0,5:1] mit jeweils einer Zufallszahl a1 und b1, wobei a1 + b1 = 1

Schritt 2: 4 Intervalle

[0:0.25] mit a1 * a2

[0.25:0.5] mit a1 * b2

[0.5:0.75] mit b1 * c2

[0.75:1] mit b1 * d2

wobei wieder a2 + b2 + c2 + d2 = 1

etc.

Also wird das Intervall immer wieder gleich aufgesplittet, wobei die Zufallszahl des neuen linken Intervalls mit dem alten "Mutterintervall" multipliziert wird, und das neue rechte Intervall auch mit dem "Mutterintervall" multipliziert wird.

 

Somit erhält man ein Array mit 2 hoch n Elementen, in dem bestimmte Bereiche "geclustert" sind, also entweder eine sehr hohe Volatilität haben, bzw. eine sehr niedrige. Damit simuliert man den "Marketflow" turbulenten und ruhiger Zeiten.

Diese Varianz als Funktion der multiplikativen Cascade wird nun in die Normalverteilung eingesetzt.

 

Ich beziehe mich auf folgendes Paper:

MULTIFRACTALITY IN ASSET RETURNS: THEORY AND EVIDENCE

Laurent Calvet and Adlai Fisher

 

Wenn du den Sourcecode einsehen willst, schicke ich ihn dir gerne per PN.

[ipl]

Ok, mit dem Modell kann man nach Ermittlung der Parameter die statistische Verteilung der Renditen (wahrscheinlich) besser als mit Random Walk modellieren. Gibt es noch weitere interessante Implikationen?

 

Demzufolge ist das Risiko real viel höher, als man es annehmen würde. Gesehen auch z.b. 2008, wenn in Krisenzeit sich Korrelationen so verändern, dass plötzlich alle Anlageklassen abgewatscht werden.

Inwiefern sagt das Modell etwas über Korrelationen aus? Ich sehe nur eine isolierte Modellierung eines einzelnen Kursverlaufs.

 

Habe das Paper aber nicht gelesen, evtl. steht das dort?

[Schinzilord]

@ipl: du hast es erfasst, es gibt keine weiteren implikationen.

 

Das mit der Änderung der Korrelationen hab ich auch nur zur Ergänzung des Sachverhalts gesagt.

 

Auch habe ich nicht das ganze Modell wie im Paper beschrieben implementiert, sondern eine "abgespeckte" Version, die aber für meine Zwecke ausreicht (Simulation eines "realen" Kursverlaufs, welche sich auf den ersten Blick nicht von einem echten Kursverlauf unterscheidet).

 

Weiterführende Anwendungen habe ich damit nicht geplant.

[Sladdi]

Demzufolge ist das Risiko real viel höher, als man es annehmen würde. Gesehen auch z.b. 2008, wenn in Krisenzeit sich Korrelationen so verändern, dass plötzlich alle Anlageklassen abgewatscht werden.

 

[...]

 

Ist euch dieses Problem bewusst, wenn ja, wie reagiert ihr darauf? Einfach hoffen, dass ihr bei eurer nächsten option nicht ausgeknockt werdet?

 

Bin für jeden comment dankbar.

Das soll bitte keine abgehobene mathematische Diskussion werden, sondern es darf sich jeder ermuntert fühlen, mitzudiskutieren.

 

Hi,

ich bin mir des Fehlers der mathematischen Modelle bewußt. Daß die Kursschwankungen nicht normalverteilt sind, ist ja schon länger bekannt. Das eigentliche Problem ist aber die Dummheit/Ignoranz der Anwender, die Formeln, die sie nicht verstehen und deren Grundlagen sie nicht kennen, anwenden. Mir stellen sich jedesmal die Nackenhaare auf, wenn ich einen Yuppie sehe, der sein "mathematisches Modell" mit der Aura der Unfehlbarkeit anpreist. Dabei gilt: shit in shit out. Genial finde ich auch Rezessionswahrscheinlichkeiten von 30%. Haben die ein Savegame und lassen unsere Wirtschaft vom heutigen Stand aus 100 mal ablaufen oder was?

 

So genug über die Anwender geschimpft: Deine Resultate sehen interessant aus. Hast Du eigentlich mal verglichen, welche Aktien Deiner Verteilung entsprechen? Die Verteilung der Tagesschwankungen bei Nestle dürfte wohl anders aussehen als bei Infineon. Denn wenn Deine Annahmen nur für Durchschnittsaktien/Indizes gilt, muß diese Einschränkung explizit dabei stehen, denn ansonsten laufen die nächsten Lemminge wieder ins Messer.

 

Und ein Problem bleibt immer bestehen: Aktienkurse werden nicht im luftleeren Raum gewürfelt, sondern es steht ein Unternehmen dahinter, dem mal objektiv besser und mal objektiv schlechter geht. Dadurch kann sich eine Verteilung der Tagesschwankungen im Laufe der Zeit ändern, aber DAS weiß man auch immer erst hinterher...

 

Ferner frage ich mich, inwiefern solche Modelle in der Praxis nutzbar sind. Denn nach dem Gesetz der großen Zahl, müßte sich die Deinem Modell zu Grunde liegende Verteilung der Tagesschwankungen erst bei einer großen Anzahl von versuchen einstellen. Wenn man Optionen daher mit kurzen Fristen bewertet, dürfte das Ergebnis wohl reines Glücksspiel sein.

 

Summa summarum: ich halte von mathematischen Modellen in der Finanzwirtschaft wenig bis gar nichts. Wenn einer Formel nicht eine physikalische oder logische Annahme zu Grunde liegt, dann sollte man die Finger davon lassen. Und einfach mal annehmen, es gebe eine Gewisse Verteilung, ohne die Gründe für diese Verteilung zu kennen, kann schnell schief gehen.

 

Gruß

Sladdi

[Grumel]

Ist euch dieses Problem bewusst, wenn ja, wie reagiert ihr darauf? Einfach hoffen, dass ihr bei eurer nächsten option nicht ausgeknockt werdet?

 

Ob mit oder ohne Normalverteilung, mir fällt kein Grund ein Optionen zu kaufen. Was soll man jetzt groß machen weil die Aktienrenditen nicht normalverteilt? Den Aktien/Rentenmix etwas konservativer gestalten vielleicht. Aber da sind wir derzeit vermutlich eh am anderen Extrempunkt bei dem alle zuviele sichere Anlagen haben angelangt.

[ipl]

Ob mit oder ohne Normalverteilung, mir fällt kein Grund ein Optionen zu kaufen. Was soll man jetzt groß machen weil die Aktienrenditen nicht normalverteilt?

Sollten die neuen Erkenntnisse noch nicht in Optionspreisen eingepreist sein, gibts einen Free Lunch.

 

Die Erkenntnis, dass die Entwicklung nicht normalverteilt ist, ist natürlich eingepreist, aber das vorgeschlagene Modell könnte besser sein, als das, was sich bisher so durchgesetzt hat.

 

@Schinzilord

Hast du mal durchgerechnet, wie groß die Differenzen sind, die sich in der Bewertung von Optionen ergeben? Vor allem langfristig, da fallen die Unterschiede wahrscheinlich stärker aus.

[Schinzilord]

Mich würde interessieren, inwieweit Finanzhäuser und Experten mit erweiterten Annahmen über das Black-Scholes Modell hinaus rechnen.

Die Lognormalverteilung ist ja doch grundlegend im BS Modell.

 

Für mich persönlich sind die ganzen Erkenntnisse nur noch mehr Bestätigung, passiv in breitgestreute Indizes zu investieren und von allen Einzelinvestment grundsätzlich die Finger zu lassen.

 

@ipl: Ich habe mich bis jetzt noch überhaupt nicht weiter mit dem BS Modell beschäftigt. Werde aber mal versuchen, die Auswirkungen abzuschätzen.

Ich denke aber, dass ich dabei an meine mathematischen Grenzen stoßen werde.

Hast du Erfahrungen mit dem BS Modell, bzw. hast du die Herleitung nachvollzogen?

[valueseeker]

wenn ich meinen finance professor da richtig verstanden habe, dürfte es bei verwendung von stochastischen volatilitäten gar keine geschlossenen lösungen mehr geben.

 

die herleitung der black-merton-scholes formel funktioniert ja klassischerweise durch überführung der zunächst erhaltenen differentialgleichung in die aus der physik bekannte wärmeleitgleichung. dass man das machen kann hat zum glück der merton irgenwann bemerkt, und somit hatte man geschlossene lösungen.

 

daher spielen kompliziertere modellierung in der praxis meines wissens auch keine große rolle, faktormodelle (alá CAPM) und black-merton-scholes sind da schon die üblichen mittel der wahl.

 

 

Ein sehr schöner Beitrag hier übrigens!

[ipl]

Mich würde interessieren, inwieweit Finanzhäuser und Experten mit erweiterten Annahmen über das Black-Scholes Modell hinaus rechnen.

Die Lognormalverteilung ist ja doch grundlegend im BS Modell.

 

Für mich persönlich sind die ganzen Erkenntnisse nur noch mehr Bestätigung, passiv in breitgestreute Indizes zu investieren und von allen Einzelinvestment grundsätzlich die Finger zu lassen.

 

@ipl: Ich habe mich bis jetzt noch überhaupt nicht weiter mit dem BS Modell beschäftigt. Werde aber mal versuchen, die Auswirkungen abzuschätzen.

Ich denke aber, dass ich dabei an meine mathematischen Grenzen stoßen werde.

Hast du Erfahrungen mit dem BS Modell, bzw. hast du die Herleitung nachvollzogen?

Nein, ich habe das BS Modell nicht exakt nachvollzogen, ich kenne nur die Grundannahmen. Allerdings braucht man für diese Zwecke erstmal weder das BS-Modell noch die Kenntnisse darüber, wie die Emittenten intern das BS-Modell modifizieren. Du kannst einfach Preise nach dem neuen Modell ausrechnen und sie mit den existierenden vergleichen. Ich hatte irgendwo mal aufgeschnappt, dass Banken die Optionspreise grundlegend schon mit dem BS-Modell berechnen, aber anschließend werden die Ergebnisse noch entsprechend der Emittenteneinschätzung der zukünftigen Marktentwicklung zugunsten der Call- oder Put-Optionen verschoben.

 

Da man über die eingepreiste Volatilität den Preis allerdings fast beliebig verändern kann, müsste man die Vergleiche auf mehreren möglichst ähnlichen Optionen berechnen, bei denen man davon ausgehen könnte, dass der Emittent mit der selben Volatilität rechnet. Wahrscheinlich sind Optionen auf einen Basiswert mit gleichen Laufzeiten, aber unterschiedlichen Strikes für den Vergleich am geeignetsten. Interessant sind vor allem die Unterschiede bei Strikes mit sehr hoher Abweichung vom aktuellen Wert.

 

Und natürlich wäre es auch interessant zu wissen, welche Ergebnisse durch das neue Modell an Wahrscheinlichkeit verlieren. Wenn sich die Verluste auf eine Stelle konzentrieren (z.B. Strike = aktueller Wert), könnten sich dort ebenfalls ausnutzbare Unterschiede ergeben.

 

wenn ich meinen finance professor da richtig verstanden habe, dürfte es bei verwendung von stochastischen volatilitäten gar keine geschlossenen lösungen mehr geben.

Das kann sein, allerdings dürfte das wohl kaum jemanden davon abhalten, die Lösung numerisch zu berechnen. Also das Modell 1.000.000 laufen lassen und die Verteilung anschauen.

[valueseeker]

Da man über die eingepreiste Volatilität den Preis allerdings fast beliebig verändern kann, müsste man die Vergleiche auf mehreren möglichst ähnlichen Optionen berechnen, bei denen man davon ausgehen könnte, dass der Emittent mit der selben Volatilität rechnet. Wahrscheinlich sind Optionen auf einen Basiswert mit gleichen Laufzeiten, aber unterschiedlichen Strikes für den Vergleich am geeignetsten. Interessant sind vor allem die Unterschiede bei Strikes mit sehr hoher Abweichung vom aktuellen Wert.

 

Funktiniert leider auch nicht so wirklich schön, es zeigt sich empirisch immer wieder, dass die eingepreisten Volatilitäten sich mit dem Strike ändern. Stickwort Volatility Smile: http://en.wikipedia.org/wiki/Volatility_smile

 

Warum das so ist ist strittig, eine naheliegende, oft geäußerte Vermutung ist allerdings, dass hier ansatzweise genau die nicht-normalverteilung der Renditen der Underlyings eingepreist sind, die uns hier interessieren. (Puts mit sehr kleinem Strike sind ja "zu teuer", Calls mit sehr großem Strike auch) Auch sich im Zeitablauf ändernde Risikoaversion der Marktteilnehmer kann eine Rolle spielen, der Smile ist mal stärker, mal weniger stark ausgeprägt.

 

Und da hast natürlich recht, man kann die Lösungen bei stochastischer Volatilität numerisch bestimmen.

[ipl]

Das sieht tatsächlich danach aus, als ob die hohe Wahrscheinlichkeit extremer Ausschläge eingepreist wäre. Die Frage wäre nur noch, wie genau bzw. ob genauer als mit dem multifraktalen Ansatz.

 

Dann wäre die Ermittlung der impliziten Volatilität selbst recht wertlos, wenn sie für volatilitätsfremde Faktoren missbraucht wird. Ein anderer Ansatz wäre, eigene Preise mit vielen unterschiedlichen Werten für Volatilität durchzurechnen und die zu den realen Preisen passendste eigene Strike/Preis-Kurve (mit der Methode der kleinsten Quadrate) zu ermitteln. Und dann schauen, ob die Kurven sich mehr oder weniger decken oder nicht...

 

Im Prinzip viel Rumrechnerei, aber jetzt nicht sooo kompliziert. Zumindest sehe ich auf den ersten Blick noch keine großen Schwierigkeiten.

[rs-depot]

Für mich persönlich sind die ganzen Erkenntnisse nur noch mehr Bestätigung, passiv in breitgestreute Indizes zu investieren und von allen Einzelinvestment grundsätzlich die Finger zu lassen.

 

Aber bei der derzeitigen Krise war die Investition in Indizes auch keine Lösung.

Weltweit näherten sich die Indizes bezüglich ihrer Korrelation gegen 1, d.h. alle brachen gemeinsam zusammen.

 

Es stellt sich die Frage, ob die Kenntnisse über höhere Eintrittswahrscheinlichkeiten von einem "Schwarzen Schwan" (nichtvorhersehbares Ereignis), überhaupt einen praktisch umsetzbaren Wert hat, außer mehr auf Sicherheit zu setzen.

[el galleta]

Aber bei der derzeitigen Krise war die Investition in Indizes auch keine Lösung.

Diesen Anspruch hat eine passive Index-Investition auch gar nicht. Sie soll überhaupt nicht Lösung in der Krise sein.

 

saludos,

el galleta

[berliner]

@ ficoach: Ich hab es unter (bitte nicht lachen) visual basic 6 programmiert. Kann dir aber gerne den Sourcecode schicken, wenn du damit was anfangen kannst.

Ist halt noch unsauber und unkommentiert, deswegen wollte ich ihn noch nicht veröffentlichen. Schick mir einfach eine message, dann bekommst du ihn.

Evtl. gehts aber mit wine, da ich ja keine besonderen bibliotheken brauche.

 

Und dabei gibt es so feine Sachen, wie z.B. das Qt SDK

[Schinzilord]

@ berliner:

Danke für den Link, das sieht ja super aus!

Werd ich mir auf alle Fälle downloaden und anschauen.

Man lernt ja nie aus!

 

Und ich steh eh so auf Sachen unter der GNU GPL...

Langsam wird meine Sammlung komplett:

Inkscape, Gimp, Octave bzw. Scilabs, Gnuplot, LaTeX (LEd & MikTex), OO.org, ...

 

Wenn jetzt noch gscheite CAD Anwendungen, ein stabiler ORIGIN-Ersatz und FEM-Anwendungen (COMSOL) hinzukommen, wären alle meine Gebete erhört!

[Efewig]

Übrigens: Die neuste Version der Software findet sich hier: https://www.wertpapier-forum.de/topic/23452-rendite-risiko-simulations-tool/

 

Der Link in dem Thread oben ist nämlich leider nicht mehr zu erreichen.