Algebra & Analysis

[Stairway]

da spricht der unwissende...... besonders toll wirds beim integrieren von Funktionen die man nicht so einfach integrieren kann...da verzweifelt sogar mein taschenrechner aber sowas findet man ja gewöhnlich nicht in dieser "wissenschaft"

 

casio fx-991ES Den MUSS man als student/schüler haben!!!(er hat sogar schulzulassung laut casio...ka wie die den dadurch gekriegt haben ^^) das ist das beste legale betrugswerkzeug schlechthin....integrieren, ableiten (jeweils an einem selbst definierten punkt) und zu guter letzt formeln auflösen... herrlich... ohne das teil hätte ich so manches mal in der klemme gesteckt kostenpunkt 25 und sieht wie ein stinknormaler taschenrechner aus

 

programmierbar ist er aber nicht

 

achja wertetabellen erstellen geht natürlich auch^^ falls die imagination mal wieder nicht so will wie die funktion xD

 

Eh eine Schweinerei das die die Grafikfähigen Rechner verbieten...

[Delphin]

da spricht der unwissende...... besonders toll wirds beim integrieren von Funktionen die man nicht so einfach integrieren kann...da verzweifelt sogar mein taschenrechner aber sowas findet man ja gewöhnlich nicht in dieser "wissenschaft"

 

casio fx-991ES Den MUSS man als student/schüler haben!!!(er hat sogar schulzulassung laut casio...ka wie die den dadurch gekriegt haben ^^) das ist das beste legale betrugswerkzeug schlechthin....integrieren, ableiten (jeweils an einem selbst definierten punkt) und zu guter letzt formeln auflösen... herrlich... ohne das teil hätte ich so manches mal in der klemme gesteckt kostenpunkt 25€ und sieht wie ein stinknormaler taschenrechner aus

Toll, willst du jetzt was lernen oder nur durch die Prüfung kommen?

 

Gut gestellte Aufgaben sind eh ohne Taschenrechner lösbar, ansonsten halt die Lösung abschätzen oder den guten alten Logarithmenstab auspacken, da bekommst du wenigstens ein Gefühl für die Größenordnungen.

[ipl]

Eh eine Schweinerei das die die Grafikfähigen Rechner verbieten...

Stimmt, wie oft habe ich schon so einen 7-D grafikfähigen Rechner gebraucht und es war grad keiner da...

[Stairway]

Stimmt, wie oft habe ich schon so einen 7-D grafikfähigen Rechner gebraucht und es war grad keiner da...

 

Die Rede ist von nem guten GTR Ti-84 die sind einfach klasse.

 

Was hat denn folgendes Zeichen (der kleine Kreis) zu bedeuten ?

 

 

Zudem:

 

Wenn man einen Term hat, der als Bruch dasteht und die Nullstellen ausrechnen muss, reicht es doch den Zähler auszurechen oder ?

 

Gruß Stairway

[Delphin]

Wenn man einen Term hat, der als Bruch dasteht und die Nullstellen ausrechnen muss, reicht es doch den Zähler auszurechen oder?

Yepp. Allerdings uss man noch aufpassen, dass der Nenner an der Stelle nicht auch Null ist, denn dann kann der Bruch an der Stelle nicht definiert (und in der Nähe der Stelle kann er unter Umständendn einen bestimmten Wert oder unendlich annehmen, das wäre dann eine Asymptote).

 

Ich glaube man fängt deswegen am besten mit den Nullstellen des Nenners an, wenn man die geklärt hat, braucht man nur noch die verbleibenden Nullstellen des Zählers betrachten.

 

Aber das ist alles schon lang her bei mir (20 Jahre! )...

[ipl]

Die Rede ist von nem guten GTR Ti-84 die sind einfach klasse.

Mag sein, aber sobald es in höhere Dimensionen geht, hilft dir kein grafischer Taschenrechner mehr. Also ist es besser, die nötigen Infos auch ausrechnen zu können, denn das kann man dann später immer noch anwenden.

 

Was hat denn folgendes Zeichen (der kleine Kreis) zu bedeuten ?

Das ist eine Verkettung von Funktionen. (g o f)(x) := g(f(x)).

 

Wenn man einen Term hat, der als Bruch dasteht und die Nullstellen ausrechnen muss, reicht es doch den Zähler auszurechen oder ?

Delphin hat im Grunde Recht. Aber ich würde trotzdem mit den Nullstellen des Zählers anfangen, denn zur Überprüfung reicht es dann, die fraglichen x-Werte in den Nenner einfach nur einzusetzen. In umgekehrter Reihenfolge müsste man beide male alle Nullstellen analytisch bestimmen.

[Stairway]

Nun bin ich doch etwas verwirrt.

 

Thema: Integrieren

 

Term:

 

f(x) = 3x^-1

forme ich um zu

3/x

nun will ich das integrieren, sprich:

F(x) = 3ln(x)

 

Sollte so auch stimmen, nun kommt aber der zweite Term:

 

f(x) = (3x)^-1

da lautet nun plötzlich die Lösung:

F(x) = 1/3 ln(3x)

 

da muss ich mich aber fragen, warum nicht auch 3ln(x) ? - Sollte doch das gleiche Schema sein ?!

 

Dazu noch ne etwas allgemeinere Frage, habe einen Bruch:

 

f(x) = 2/(x+3)

 

Wenn ich den Integriere heisst es dann einfach 2 ln (x+3) * 1/3 ?

 

Grüße Stairway

[Drella]

Nun bin ich doch etwas verwirrt.

 

Thema: Integrieren

 

Term:

 

f(x) = 3x^-1

forme ich um zu

1/3x

nun will ich das integrieren, sprich:

F(x) = 3ln(x)

 

Sollte so auch stimmen, nun kommt aber der zweite Term:

 

f(x) = (3x)^-1

da lautet nun plötzlich die Lösung:

F(x) = 1/3 ln(3x)

 

da muss ich mich aber fragen, warum nicht auch 3ln(x) ? - Sollte doch das gleiche Schema sein ?!

 

Dazu noch ne etwas allgemeinere Frage, habe einen Bruch:

 

f(x) = 2/(x+3)

 

Wenn ich den Integriere heisst es dann einfach 2 ln (x+3) * 1/3 ?

 

Grüße Stairway

 

1. habe ich das gleiche ergebnis bzw problem wie du.

2. warum nicht 2 ln (x+3) ???? oder hab ich mich jetzt verrechnet? woher kommen die 1/3? ^^

 

hänge hier seid stunden über statistik. verzweifelt.

[Stairway]

2. warum nicht 2 ln (x+3) ???? oder hab ich mich jetzt verrechnet? woher kommen die 1/3? ^^

 

Die 1/3 sind nachdifferenziert.

 

Ich schau mir hier grad 1000. Beispiele an und überall wird es anders gemacht, das darf doch nicht wahr sein...

[LagarMat]

Hallo.

 

Hier "spricht" Stezos Freundin Amy. Stezo kann sowas nämlich nicht.

 

Also Integralrechnung ist bei mir zwar schon etwas her, aber ich denke, dass ihr die Umrechnung nicht beachtet habt:

 

3*x^-1 =3*1/x=3/x und nicht 1/(3x). Die 3 hat im Nenner nix zu suchen, denn sie betrifft der negative Exponent nicht. Das ist bei (2) der Fall, wo eine Klammer um das Produkt gesetzt ist. Da haben wir den kleinen, aber feinen Unterschied.

 

Das Integral 3*ln(x) ist richtig.

 

zu (2) gilt f(x)=(3x)^-1 = 3^-1 * x^-1 = 1/3 * 1/x.

Weiterhin gilt wegen Int(a*u(x))dx = a*Int(u(x))dx hier F(x)=1/3 * ln(x)

Nach meiner Logik...

 

Zu f(x)=2/(x+3)=2*(x+3)^-1

Hier muss man, wenn mich nicht alles täuscht die Verkettung beachten und nach innerer Funktion substituieren.

Also u=x+3 (innere Funktion) setzen, du nach dx auflösen und so weiter.

 

Das ist Leistungskurs-Mathe-Abitur-Stoff. Deswegen kann der Stezo das auch nicht.

 

 

Gruß, Amy

[Stairway]

Hallo.

 

Hier "spricht" Stezos Freundin Amy. Stezo kann sowas nämlich nicht.

 

Also Integralrechnung ist bei mir zwar schon etwas her, aber ich denke, dass ihr die Umrechnung nicht beachtet habt:

 

3*x^-1 =3*1/x=3/x und nicht 1/(3x). Die 3 hat im Nenner nix zu suchen, denn sie betrifft der negative Exponent nicht. Das ist bei (2) der Fall, wo eine Klammer um das Produkt gesetzt ist. Da haben wir den kleinen, aber feinen Unterschied.

 

Gruß, Amy

 

Hallo Amy,

 

hatte mich oben leider doppelt verschrieben... hast natürlich vollkommen recht, die Umformung muss 3/x heissen.

 

Jedoch löst das mein Problem der Stammfunktion noch nicht - ich versteh nicht so richtig, warum es bei dem einen einfach F(x) = 3 ln(x) heisst und bei dem anderen F(x) = 1/3 ln(3x).

 

Könntest mir mal bei der Umformung von f(x) = (3x)^-1 (das ist der zweite Term) in einen Bruch behilflich sein ?

 

Grüße vom Stairway der gewaltig auf dem Schlauch sitzt (liegt warscheinlich daran, dass ich heute 8 Stunden den Weihnachtsmann hab spielen dürfen)...

[LagarMat]

Hallo Stairway!

Kein Problem, der Schlauch ist schon ganz platt von mir immer...

Guck mal, hab dir die Rechnung schon notiert:

zu (2) gilt f(x)=(3x)^-1 = 3^-1 * x^-1 = 1/3 * 1/x.

Weiterhin gilt wegen Int(a*u(x))dx = a*Int(u(x))dx hier F(x)=1/3 * ln(x)

Nach meiner Logik...

warum du da 1/3*ln(3x) raushast weiß ich leider auch nicht. Oder hast du Lösung von woanders und sie müsste stimmen (aus nem Buch oder so?)

Bin mir ziemlich sicher, dass meine Rechnung und daher auch das Ergebnis fehlerfrei ist. Hab ja alle Regeln beachtet.

 

Gruß, Amy

[Stairway]

Hallo Stairway!

Kein Problem, der Schlauch ist schon ganz platt von mir immer...

Guck mal, hab dir die Rechnung schon notiert:

 

warum du da 1/3*ln(3x) raushast weiß ich leider auch nicht. Oder hast du Lösung von woanders und sie müsste stimmen (aus nem Buch oder so?)

Bin mir ziemlich sicher, dass meine Rechnung und daher auch das Ergebnis fehlerfrei ist. Hab ja alle Regeln beachtet.

 

Gruß, Amy

 

Ist eigentlich aus dem Skript meines Profs bzw der Tutoren, kann natürlich sein das sich dort jemand vertippt hat - ich überprüf das mal mit dem Taschenrechner, da kann man die Kurven ja zeichnen lassen.

 

Thanks so far.

[andy]

Na du machst mir Hoffnungen. Ich will nächstes VWL anfangen und mein Mathe-Abi liegt dann vier (!) Jahre hinter mir. Bin schon auf der Suche nach guten Büchern, um das Jahr gut zu nutzen bis es los geht.

Hi Arkad,

in unserer Mikroökonomik Vorlesung wurde uns dieses Buch wärmstens Empfohlen:

 

http://www.amazon.de/Grundz%C3%BCge-Volksw...3843&sr=8-1

 

Vielleicht ist das ja was für dich, ich habs mir auch mal gekauft...

[Stairway]

Hi Arkad,

in unserer Mikroökonomik Vorlesung wurde uns dieses Buch wärmstens Empfohlen:

 

http://www.amazon.de/Grundz%C3%BCge-Volksw...3843&sr=8-1

 

Vielleicht ist das ja was für dich, ich habs mir auch mal gekauft...

 

Hi Andy und Arkad,

 

also der Mankiw ist das Standardlehrbuch für VWL, ist eigentlich eher ein "Laber"-Buch und nicht sonderlich wissenschaftlich geschrieben, aber man versteht eben wirklich alles da es perfekt erklärt wird. Für das erste Semester als genau richtig, hat aber NICHTS mit Mathe zu tun. Falls Arkad hier nach nem Mathebuch gefragt hat.

[andy]

Hi Andy und Arkad,

 

also der Mankiw ist das Standardlehrbuch für VWL, ist eigentlich eher ein "Laber"-Buch und nicht sonderlich wissenschaftlich geschrieben, aber man versteht eben wirklich alles da es perfekt erklärt wird. Für das erste Semester als genau richtig, hat aber NICHTS mit Mathe zu tun. Falls Arkad hier nach nem Mathebuch gefragt hat.

Hi Stairway,

 

das ist vollkommen richtig - falls er was mathematisches sucht, ist dieses Buch nichts. Sonst aber sehr empfehlenswert.

[ipl]

warum du da 1/3*ln(3x) raushast weiß ich leider auch nicht.

Na gut, wenn selbst Stezos Freundin das nicht sieht, muss ich wohl ran. *g*

 

Die Lösung besteht darin, dass die Ableitung von ln(a * x) für alle a (außer 0) gleich ist, nämlich: 1 / x. Beispiele:

 

Ableitung von ln(2x) = 2 * 1/(2x) = 1/x

Ableitung von ln(7x) = 7 * 1/(7x) = 1/x

 

Die Ableitung von "1/3 ln(3x)" ist also die selbe, wie auch von "1/3 ln(x)" und somit sind beide Stammfunktionen richtig.

[LagarMat]

Morgen zuammen!

 

Die Ableitung von "1/3 ln(3x)" ist also die selbe, wie auch von "1/3 ln(x)" und somit sind beide Stammfunktionen richtig.

Das stimmt. Ist mir - wie das so oft bei so weit zurückliegenden Sachen ist - plötzlich heut nacht eingefallen.

Allerdings würde ich das nicht über das "Hintertürchen" Ableitung erklären, sondern das liegt eben am Verfahren des Integrierens. Die Frage hier war nämlich nicht, warum das gleich ist, sondern wie man übers Integrieren genau darauf kommen kann.

 

Ich hab den einfachen Weg gewählt, indem ich den Faktor ausgeklammert hab. Dadurch erhält man wieder den einfachen Term 1/x, sodass lediglich x natürlich logarithmiert wird.

Fasst man den Term 1/(3x) aber als Verkettung auf, nämlich über die innere Funktion u=3x und die äußere Funktion 1/u, so erhält man nach erfolgreicher Integration genau dies: ln(u) und zurückersetzt ist das ja genau ln(3x). Plus äußerer Integration und Substitution ergibt das 1/3*ln(3x).

Tata

 

Die Begründung von ipl über die Ableitung ist sozusagen die Probe, in dem er zeigt, dass beide Ergebnisse richtig sind.

 

Nun dürfte diese Abhandlung vollständig sein.

 

 

Einen schönen zweiten Advent wünscht Euch Amy

[ipl]

Allerdings würde ich das nicht über das "Hintertürchen" Ableitung erklären

Unter "Hintertürchen" verstehe ich was anderes.

 

Nein, im Ernst, die Integrationsalgorithmen garantieren lediglich, keine falschen Lösungen zu liefern, nicht alle richtigen Lösungen. Das wird jetzt ein wenig philosophisch, aber eigentlich ist das Zeigen, dass die Ableitung von F = f ist, das "echte" Kriterium für die Richtigkeit und nicht das Befolgen von Regeln. In dem konkreten Fall gibt es eine Kombination von Regeln, um auf das gewünschte F zu kommen, es muss aber keineswegs so sein und ist auch nicht notwendig. Solche Feinheiten merkt man dann deutlicher bei der Differenzialrechnung höherer Stufen, wo es um Funktionen geht, die nicht integrierbar, aber eine Ableitung einer anderen Funktion sind oder umgekehrt oder nichts davon sind... Und dann gibt es noch unterschiedliche Integralbegriffe...

 

Aber abgesehen von dem "philosophischen" Aspekt hast du natürlich Recht.

[LagarMat]

Hallo ipl!

 

Das hat nix mit philosophisch zu tun. Rein mathematisch wäre der Weg über die Ableitung zum Zeigen der Richtigkeit der Lösung(en) der geeignete, da hast du recht.

Doch hier lag das Problem doch anders: Die angegebene Stammfunktion war nicht nachvollziehbar, denn durch Rechnung erhielt man eine andere.

Da habe ich nun über die Darlegung der verschiedenen Möglichkeiten, diese Funktion zu Integrieren, gezeigt, dass man wirklich folgerichtig und regelkonform auf beide Stammfunktionen kommen kann. Dass diese Stammfunktionen gleich sind, war erstmal zweitrangig, da es um das Verfahren des Integrierens an sich und um Nachvollziehung von Rechenwegen ging.

 

Nichts desto trotz "streiten" wir uns hier um die Kokosnuss, haben wir doch zusammen zweiteilig das Problem von Stairway und Profi gelöst: Rechnenwege erklärt und gezeigt, dass und warum beide Stammfunktionen, obwohl verschieden, doch richtig sind und schlussendlich noch deine "Probe", übers Ableiten bewiesen, dass beides wirklich Stammfunktionen ein und derselben Funktion sind.

 

Gruß, Amy

[Stairway]

Suche Umkehrfunktion!

 

1.)

 

y=WURZEL(2-x²)

 

Meine Lösung wäre

 

x=WURZEL(2)-y

 

Ist das so korrekt ?

 

2.)

 

y=exp(x-7)

 

x=ln(y-7)

 

Ist das so korrekt ?

 

P.S. Das man bei der Lösung y durch x wieder ersetzten kann ist mir klar.

[Wave XXL]

zu eins heißt die Lösung IMO x=Wurzel (2-y²).....

[trader2k]

also ich hab zu 1.

 

Sqrt[2 - x^2] = y

 

=> {{x -> -Sqrt[2 - y^2]}, {x -> Sqrt[2 - y^2]}}

 

zu 2.

 

Exp[x - 7] = y

 

=> {{x -> 7 + Log[y]}}

 

 

gut zur übung, hab ja auch bald ana klausur ...

[trader2k]

vllt weis jemand was, ein ansatz würde schon viel helfen :

 

Sei f : D -> R (D Intervall) eine differenzierbare Funktion mit

stetiger Ableitung. Man nehme an, dass f' mit Ausnahme höchstens endlich

vieler Stellen positiv ist. Zeige, dass f dann streng monoton wachsend ist.

[Stairway]

Ach, ich hasse diese überflüssige sch*****