Wie berechne ich Volatilitäten für Asset-Analysen?

[Globetrotter]

Hallo zusammen

 

Ich möchte gerne eine Asset-Analyse (MVO) auf Grundlage historischer Monatsrenditen durchführen. Hierzu muss ich die Jahresrenditen (Mittelwerte) und die zugehörigen Volatilitäten (Standardabweichungen) berechnen. Nun bin ich auf ein kleines Problem gestossen :- :

Da Renditen log-normalverteilt sind, werden der Mittelwert und die Standardabweichung üblicherweise aus dem natürlichen Logarithmus der Monatsrenditen berechnet:

 

Die geometrische Jahresrendite ist dann:

 

Der Mittelwert µ_ln wird also "zurücktransformiert" (logarithmisch -> linear). Bei der Standardabweichung lässt sich diese Transformation logarithmisch->linear nicht ohne weiteres durchführen.

Wie berechne ich auf korrekte Art und Weise die Standardabweichung, so dass ich zueinander passende (µ|s)-Wertepaare erhalte? Verwendet man für Mean-Variance und Style-Analysen die (µ_ln|s_ln) - Wertepaare? Bei hoher Volatilität im Betrachtungszeitraum kann sich doch so ein grosser Fehler einschleichen.

Danke schon mal für alle Antworten.

[Norbert-54]

Hallo Globetrotter,

 

Die Frage ist, ob´s so kompliziert sein muss.

Die Verwendung des ln kann Sinn machen, weil man eher eine Normalverteilung der periodischen Renditen bekommt. Ab welcher Größenerdnung der ln zu Fehlern führt: müsste man ausprobieren.

 

Ich lege mal einen Vergleich für eher niedrige Volas bei. Die Rendite habe ich einfach mit der Zinsezinsrechnung aus dem Kurs bestimmt. Vermutlich machst du mit dieser Vereinfachung keinen großen Fehler in der Praxis.

 

Grüße

Norbert

[Globetrotter]

Vielen Dank für die Antwort, Norbert. Du empfiehlst also für Style-Analysen die geometrisch berechnete Jahresrendite ("Zins aus Kurs") zusammen mit einer arith. berechneten Volatilität zu verwenden? Ganz überzeugt bin ich von diesem Vorgehen noch nicht . Die Mittelwerte aus den Renditen und den ln(Renditen) können nämlich stark voneinander abweichen. Sie liegen bei Aktien selten so nahe beieinander wie in deinem Beispiel (Ist wohl ein Anleihen-Kurs (?)). Betrachten wir mal den Kurs eines MSCI-Indexes (Zeitperiode ist

ebenfalls die letzten 10 Jahre; siehe Excel-Datenblatt im Anhang):

+-------------------------------------------------------------------------------------+
|arith. Mittelwert der Monatsrenditen     = 0.26%  -> arith. Jahresrendite   =  3.16% |
|                                                  -> Volatilität            = 14.80% |
+-------------------------------------------------------------------------------------+
|arith. Mittelwert der ln(Monatsrenditen) = 0.17%  -> geometr. Jahresrendite =  2.07% |
|                                                  -> Volatilität            = 14.94% |
+-------------------------------------------------------------------------------------+
| geometr. Jahresrendite (annualisiert aus K[sub]n[/sub]/K[sub]0[/sub]-1) = 2.07%                           |
+-------------------------------------------------------------------------------------+

Interessant ist, dass die Volatilitätswerte kaum beeinflusst werden, durch die für die Berechnung verwendeten Mittelwerte. (zumindest in meinem Beispiel). Ich habe in der Excel-Datei sogar ein paar willkürlich falsche Mittelwerte eingesetzt und die daraus berechneten Volatilitäten unterscheiden sich nicht heftig.

...Es geht also vielleicht doch an, die Berechnung so einfach zu halten, wie es Norbert aufgezeigt hat ;-)

Was meint ihr?

 

Angehängte Datei

Norbert.xls

[Norbert-54]

Globetrotter,

 

Danke zunächst, ich kann nun zwei meiner Formeln vereinfachen, es wird bei mir dann übersichtlicher.

 

Bisher habe ich Volatilitäten auf wöchentlicher Basis immer mit den ln Wochenrenditen gerechnet, auf monatlicher Basis habe ich die "nicht ln" Monatsrenditen genommen. Ähnlich wie bei deinem MSCI Beispiel habe ich nie große Unterschiede gesehen.

 

Zu denken geben mir die unterschiedlichen Mittelwerte zwischen beiden Rechenmodi. Wenn dein Beispiel kein Zufall ist, sollte ich auch hier auf den ln Modus gehen. Hast du eine Idee woher das kommt?

 

Weißt du zufällig ein Programm, mit dem ich die Abweichung von der Normalverteilung bestimmen kann?

 

Solche Rechnungen machen wir ja, um irgendwie und mit einiger Unsicherheit eine Abschätzung zu bekommen, wie es zukünftig weiter gehen könnte. Diese Unsicherheit dürfte größer sein als die exakte Bedeutung der historischen Daten.

 

Grüße

Norbert

[supertobs]

Hallo, an diesem Punkt bin ich aus seit längerem. Mir stellt sich die Frage, was man eigentlich zeigen möchte.

 

Wie ich obiges Beispiel in Nobert.xls richtig deute, dann kommt man mit den ln(Monatsrenditen) auf den gleichen Zinssatz (2,07%) über den gesamten betrachteten Zeitraum wir mit dem Zins aus dem Kurs. Nun ist der Zins aus dem Kurs definitiv aus dem Anfang und dem Endwert gebildet. Er berücksichtigt somit den Zinseszins (CAGR). Die ln-Variante kommt auf das gleiche Ergebnis, obwohl sie nur stückweise vorgeht. Insofern eine netter Rechenweg.

 

Aber: Will man das eigentlich zeigen? Mich interessieren ja Durchschnittsrenditen. Welche Rendite hatte man in (oder bei einem Einstig in) 2002, 2003 oder 2004 etc? Es gibt jeweils zwei Renditewert pro Jahr: Die Rendite in diesem Jahr (Jahresrednite) und die Rendite bei Einstieg in diesem Jahr und Halten des Werts bis heute (CAGR).

 

Die jeweiligen Jahresrenditen kann ich dann doch schon durch arithmetische Mittelung verallgemeinern, oder nicht?

[Globetrotter]

Hallo zusammen, ich habe gerade einen Beitrag offline verfasst und so eure weiteren Posts erst jetzt gesehen. Da mich die Fragen interessieren, werde ich sicher morgen darauf eingehen. Hier aber schon mal das "Offline-Post". Vielleicht trägt das auch schon ein wenig zur Klärung bei; wobei.... soviele Meinungen.... :

 

Ich habe noch ein wenig gegoogelt. Das Thema über die richtige Berechnungsart von Renditen und Standardabweichung wird in der Literatur sehr kontrovers behandelt. Der Artikel The Misuse of Expected Returns im "Financial Analysts Journal" zeigt das sehr schön auf.

 

Kurze Zusammenfassung der Recherche:

• Prof W. Goetzmann (Universität Yale) empfiehlt für "expected one year returns" das arith. Mittel der historischen Werte zu verwenden. Für Langzeitprognosen soll man die geometrische Rendite verwenden. [An Introduction to Investment Theory]
   
  
• William Bernstein (Efficient Frontier) verwendet in einem Excel-Musterdatenblatt die log-Renditen als Erwartungswerte. [Roll Your Own]
   
  
• John Y. Campbell: "When returns are serially uncorrelatedthat is, when one years return is unrelated to the next years returnthe arithmetic average represents the best forecast of future return in any randomly selected year. For long holding periods, the best return forecast is the arithmetic average compounded up. [aus Campbell et al (2001) Estimating the Real Rate of Return on Stocks over the Long Term. Social Security Advisory Board.]
  

Hmmmm.....

 

Wäre toll, wenn sich die 'Finanzmathematiker' noch einklinken könnten

Es geht also um 2 Dinge: 1) Nimmt man für Erwartungswerte die arith. oder geom. Renditen und 2) darf man die beiden Berechnungsarten für weitere Analysen mischen (z.B. Mittelwert aus geom. Renditen und Standardabweichung aus arith. Renditen)

[Globetrotter]

Die ln-Variante kommt auf das gleiche Ergebnis, obwohl sie nur stückweise vorgeht. Insofern eine netter Rechenweg.

Ja, finde das auch eine schöne Zahlenjonglage:

Geometrische Rendite G:
G= (K1/K0)*(K2/K1)*(K3/K2)* ... *(Kn/Kn-1) - 1 = (Kn/K0) - 1
 =   R1   *  R2	* R3  * ... *   Rn	 - 1
 = exp(ln(R1*R2*R3* ... *Rn)) -1 
 = exp(ln(R1) + ln(R2) +... + ln(Rn)) - 1

Die log-Werte sind annähernd normalverteilt => Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung ist erlaubt

[supertobs]

1) Nimmt man für Erwartungswerte die arith. oder geom. Renditen

 

Ich würde die arithmetische Rendite nehmen. Wobei ich die berechne mit:

=((1+MITTELWERT(Monatsrenditen))^(1/12)-1)*100

 

Dazu passend die Standardabweichungen:

=STABWN(Monatsrenditen)*WURZEL(12)

 

Ich lese mich auch mal in die links ein.

[supertobs]

[*]William Bernstein (Efficient Frontier) verwendet in einem Excel-Musterdatenblatt die log-Renditen als Erwartungswerte. [Roll Your Own]

 

Bei diesem Beispiel sieht man schön die Nachteile der ln-Methode. Bernstein gibt mehrere Renditen an: 5, 10, 15, 30-Jahre etc. Die Renditeanbgaben sind also sehr bezogen auf den Einstieg im jeweiligen Jahr. Es gibt keine Aussage über die gesamte Datenreihe.

[Globetrotter]

Renditen beziehen sich doch immer auf eine Periode, oder? Ich sehe hier keinen Nachteil der ln-Methode. Es handelt sich nur um eine log. Transformation, die erlaubt Renditen eines Zeitinvervalls zu addieren. Die geom. Rendite erhält man jeweils mittels exp(Summe). Das ist in Excel-Tabellen sehr praktisch. Falls nur Renditedaten und keine Kursdaten vorhanden sind muss man sonst auf die ZW2-Excelfunktion zurückgreifen (oder zuerst 'Kursdaten' aus den Renditen generieren). Bist du an geom.Renditen interessiert, so sind die ln-Werte doch äusserst praktisch.

 

Zum Umgang mit Renditeberechnungen:

Ich habe nochmals alle gefunden Informationen zur Verwendung der beiden Rendite-Berechnungsmethoden - geometrisch und arithmetisch - durchgesehen und habe für mich folgende Schlussfolgerungen gezogen (Bitte korrigiert mich, falls ich falsch liege):

 

1) Für die Betrachtung historischer Daten ist immer die geometrische Rendite die massgebende Kennzahl. Die arith. Rendite lässt keinerlei Rückschlüsse auf den Ertrag zu. Beispiel: Du investierst 100 Euro. Im 1.Jahr sei die Rendite -50% im 2.Jahr +100%. Arithm. Durchschnittsrendite = 25%, obwohl du immer noch gleichviel wie am Anfang auf dem Konto hast.

 

2) Soll ein Erwartungswert (expected return) ermittelt werden, gibt es zwei Fälle zu unterscheiden:

 

2a) 1-Periode-Erwartung

Die historischen Renditen liegen in N Perioden vor und es soll ein Erwartungswert für die nächste (gleichlange) Periode berechnet werden. Es gilt hier die Annahme, dass die kommende Periode einer der N vergangenen gleichen wird, und zwar jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/N. Die kommende Periode wird - theoretisch ;-) - einen durchschnittlichen Wert der vergangenen Perioden realisieren. In diesem Fall ist der Erwartungswert das arithm. Mittel der vergangenen N Perioden (hmmm, gilt das auch für asymmetrische Verteilungen?)

Beispiel für diesen Fall: Rebalancing

 

2b) "Multi-Perioden-Erwartung"

Hier sollte wiederum die geometrische Rendite verwendet werden. (...oder eine der "Fancy"-Approximationen, wie in "Diversification, Rebalancing And The Geometric Mean Frontier" von William Bernstein erwähnt)

Beispiel für diesen Fall: Asset Allokation

 

Falls das so stimmt, hätten wir ein erstes Problem gelöst.

Was meint ihr dazu?

[supertobs]

Die arith. Rendite lässt keinerlei Rückschlüsse auf den Ertrag zu. Beispiel: Du investierst 100 Euro. Im 1.Jahr sei die Rendite -50% im 2.Jahr +100%. Arithm. Durchschnittsrendite = 25%, obwohl du immer noch gleichviel wie am Anfang auf dem Konto hast.

 

Schönes Beispiel, aber durch ...

 

2) Soll ein Erwartungswert (expected return) ermittelt werden, gibt es zwei Fälle zu unterscheiden:

 

2a) 1-Periode-Erwartung

Die historischen Renditen liegen in N Perioden vor und es soll ein Erwartungswert für die nächste (gleichlange) Periode berechnet werden. Es gilt hier die Annahme, dass die kommende Periode einer der N vergangenen gleichen wird, und zwar jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/N. Die kommende Periode wird - theoretisch ;-) - einen durchschnittlichen Wert der vergangenen Perioden realisieren. In diesem Fall ist der Erwartungswert das arithm. Mittel der vergangenen N Perioden

 

... auch beantwortet. Bei -50%, dann 100% würde ich eben in der nächsten Periode +25% erwarten.

[Norbert-54]

Ich habe, angeregt durch diesen Thread, überlegt wie ich in der Vergangenheit meine Renditeschätzungen gemacht habe:

 

Auf Basis der Wertentwicklung (Kurs + Ausschüttungen) habe ich in den danach erstellten halblogarithmischen Langfristchart eine mir sinnvoll erscheinende Gerade gelegt. Diese Gerade repräsentiert die zu erwartende Rendite. Auf Basis des Anfangs und des Endpunktes habe ich die zu erwartende Rendite dann mit der Zinsezinsgleichung gerechnet. Ein Beispiel habe ich angefügt.

 

Das entspricht ja wohl der geometrischen Rendite + natürlich meiner Intuition. Letzteres kann selbsverständlich in die Hose gehen. Die Fortschreibung der exakt vorliegenden Historie aber auch.

 

Ich denke, man braucht sehr wohl eine Vorstellung der zu erwartenden Rendite. Die Literatur bietet offensichtlich viele Möglichkeiten, wie Globetrotter das ja eindrücklich zeigt. Die Vorgehensweise kann jeder für sich sebst festlegen.

 

Solche Diskussionen wie hier tragen aber zur Transparenz der Situation bei. Hat mir schon wieder etwas weitergeholfen.

 

Grüße

Norbert

[supertobs]

Auf Basis der Wertentwicklung (Kurs + Ausschüttungen) habe ich in den danach erstellten halblogarithmischen Langfristchart eine mir sinnvoll erscheinende Gerade gelegt. Diese Gerade repräsentiert die zu erwartende Rendite. Auf Basis des Anfangs und des Endpunktes habe ich die zu erwartende Rendite dann mit der Zinsezinsgleichung gerechnet. Ein Beispiel habe ich angefügt.

 

Das entspricht doch einer handgemachten lineare Regression durch die Einzelwerte. Die kannst Du auch noch automatisiert erstellen lassen. Aber es bleiben Mittelwerte durch die ln-Renditen, durch die Du den Erwartungswert bekommst. Plausible Vorgehensweise, man kann das aber auch mit den einfachen Monatsrenditen machen.

[Norbert-54]

Das entspricht doch einer handgemachten lineare Regression durch die Einzelwerte. Die kannst Du auch noch automatisiert erstellen lassen. Aber es bleiben Mittelwerte durch die ln-Renditen, durch die Du den Erwartungswert bekommst. Plausible Vorgehensweise, man kann das aber auch mit den einfachen Monatsrenditen machen.

 

Supertobs,

Es ist wohl eher eine "logarithmische" Regression (bin kein Mathematiker). Handgemacht ist das allerdings nicht. Ich nehme dazu Wiso Börse, das Chart ist darin erstellt, die Gerade kann man per Maus einzeichnen. Das Programm gibt mir für die Gerade sofort die annualisierte Rendite wieder. Also keine Arbeit. Und man kann schnell mehrere Geraden erstellen.

 

Was ich daraus noch schließe: Die betrachtet historische Periode kann die Rendite Rechnung schon deutlich beeinflussen.

 

Grüße

Norbert

[Globetrotter]

Hey, ihr legt vielleicht ein Tempo vor! Das ist ganz ungewohnt für einen laaangsamen Berner Geniesst ihr den schönen Sommertag gar nicht? Wir haben hier in Bern noch Euro08-Party und deshalb sende ich hier nur ein paar Nachträge:

 

@supertobs

Die arith. Rendite lässt keinerlei Rückschlüsse auf den Ertrag zu

...klar, es sollte heissen: "lässt keinerlei Rückschlüsse auf historische Erträge zu"

 

@Norbert

Zu denken geben mir die unterschiedlichen Mittelwerte zwischen beiden Rechenmodi. Wenn dein Beispiel kein Zufall ist, sollte ich auch hier auf den ln Modus gehen. Hast du eine Idee woher das kommt?

Die Volatilität bestimmt die Abweichung. Hier eine Approximation: G = R - (V/(2*(1+R)

Das arithm. Mittel R ist immer grösser als das geom. Mittel G, falls die Varianz V > 0

 

Weißt du zufällig ein Programm, mit dem ich die Abweichung von der Normalverteilung bestimmen kann?

Vielleicht hiflt dir dieses Open Source Tool weiter: Statistikprogramm R

Und noch eine URL: Überprüfung auf Verteilungsformen

[Norbert-54]

Globetrotter,

 

Ich kennen auch schnelle Berner.

 

Danke für deine Info, ich habe jetzt wohl noch einiges zu lesen.

 

Grüße

Norbert