Mathematik Ass gesucht....

[Reigning Lorelai]

Hallo liebe Community,

 

ich weiß ja dass hier eine Vielzahl von Studenten sich tummeln und ich bin mir sicher, dass auch der eine oder andere in Mathematik sehr fit ist. Genauer gesagt geht es um Renditerechnung, welche ich meinem Bruder heute nicht erklären konnte:

 

Es geht in diesem Fall um einen Sparplan:

Dazu werden folgende Angaben benötigt:

 

- regelmäßige Spardauer (monthly, bimonthly, trimonthly etc.) oder Einmalzahlung

- Laufzeit

- Rendite p.a. der Anlage

- Anfangskapital

- monatlicher Beitrag

- Endkapital

 

Eine dieser Variablen darf nicht gegeben sein, sonst gibt es ja nix zu berechnen. Auf der anderen Seite müssen aber mindestens 5 von 6 Kriterien vorhanden sein, da sonst die Rechnung nicht durchgeführt werden kann.

 

Beispiel für gewöhnlichen Sparplan:

 

- regelmäßige Spardauer (monthly, bimonthly, trimonthly etc.) oder Einmalzahlung --> monatlich

- Laufzeit --> 20 Jahre

- Rendite p.a. der Anlage --> 5%

- Anfangskapital --> 0,- Euro

- monatlicher Beitrag --> 100 Euro

- Endkapital --> GESUCHT

 

Endkapital lautet in dem Fall lt. TR: 40,580.45

 

Meine Frage: Wie lautet die mathematische Formel dafür??? Muss dazu sagen, dass Mathematik im Studium bei mir auch nie wirklich ein Schwerpunkt war und ich hier entsprechend schwach auf der Brust bin.

 

Viele Grüße

 

W.Hynes

[oder]

du meinst zw aus excel http://www.wer-weiss-was.de/theme156/artic...22.html#1636767 ?

[thabounce]

sowas?

 

http://www.zinsen-berechnen.de/zinsrechner.php

 

bin kein studen aber naja

[ben]

Guck mal hier, Seite 4, nachschüssige Rentenendwertformel, würde ich meinen...

 

VG

Ben

[Reigning Lorelai]

Danke für die Posts...

nachschüssige Rentenendwertformel

kein Wunder dass ich die Formel im Internet nicht finde. Das Wort habe ich ja noch nie gehört. Da ist mein deutscher Wortschatz doch zu stark begrenzt... Rentenendwertformel...

 

Aber das sieht alles schon mal nicht schlecht aus... muss ich jetzt mal noch auf Validität prüfen und dann habe ich diese Baustelle auch wieder abgehakt. Danke schon mal und weitere Ideen und Vorschläge natürlich gerne willkommen.

 

Gruß

W.Hynes

[Sladdi]

Hi,

Rentenendwertformel (REF) stimmt, aber ob man die vor- oder die nachschüssige Endwertformel nimmt, hängt vom Zeitpunkt der Ratenzahlung ab.

Die nachschüssige REF nimmst Du, wenn Du am Monats-/Periodenende Deine Beiträge zahlst. Die vorschüssige nimmst Du , wenn Du am Monats-/Periodenanfang zahlst.

 

Hier mal eine kleine Herleitung für die vorschüssige REF. Ich schreibe im Beispiel der Einfachkeit halber immer Monat, statt allgemein Periode.

 

Dein Kapital am Ende ist die Summe alle Beiträge plus der jeweiligen Verzinsung. Die letzte von k Raten wird 1 Monat lang verzinst, die vorletzte 2 Monate usw. Die erste Rate wird n Monate verzinst.

 

Also ist Kapital=SUM[n=1..k)(ZINS^n * Rate)

Da die Rate konstant ist, kannst Du sie ausklammern.

 

=> Kapital=Rate*SUM[i=1..k](ZINS^n)

 

Jetzt setze ich, damit es übersichtlicher wird C=SUM[i=1..k](ZINS^n)

 

=> Kapital=Rate*C ===> (Gl.0)

 

Eine Summe mit den Gliedern x^n nennt man "endliche geometrische Reihe", für die eine Formel existiert.

SUM[n=0..k](x^n)=(1-x^(k+1))/(1-x) ===>(Gl. 1)

 

Jetzt wird es langsam unschön, die Formeln inline zu schreiben. darum beschreibe ich jetzt nur das weitere Vorgehen:

Wie Du siehst, fängt die "endliche geometrische Reihe" bei n=0 an, während unsere Verzinsung bei n=1 anfängt. Also zerlegst Du die Summe in (Gl.1), indem Du das Element für n=0 rausziehst. Dann steht da

 

1+[Rest der Summe]=[rechte Seite der Gl.1] ===> (Gl.2)

 

Dabei entspricht [Rest der Summe] jetzt genau der Form von C, das wir ja suchen.

Also mußt du nur noch (Gl.2) nach [Rest der Summe] umstellen und das Ergebnis für C in (Gl.0) einsetzen.

 

Das war's.

 

Mit "ZINS" ist in den obigen Formeln natürlich der Periodenzins gemeint. Bei 10% Periodenzins kommt dann da 1,1 rein.

 

 

 

Gruß

Sladdi

[ipl]

Diese Frage taucht im Forum nicht zum ersten mal auf, hier gab es schon mal die Antwort (dort weiter unten gibt es eine Verallgemeinerung auf beliebige Intervalle). Die anderen Formeln sind alle etwas vereinfacht und ungenau. Sie setzen beispielsweise voraus, dass die Zinsausschüttung monatlich (in diesem Thread weiter oben) oder jährlich (im verlinkten Thread die Variante von Onassis) erfolgt und die Raten monatlich eingezahlt werden, aber du wolltest explizit den allgemeineren Fall. Ich bringe die von mir verlinkte und verallgemeinerte Formel hier noch in die geschlossene Gestalt mit üblichen Zeiteinheiten, damit man nur noch einsetzen muss.

 

Es geht in diesem Fall um einen Sparplan:

Dazu werden folgende Angaben benötigt:

 

- regelmäßige Spardauer (monthly, bimonthly, trimonthly etc.) oder Einmalzahlung

- Laufzeit

- Rendite p.a. der Anlage

- Anfangskapital

- monatlicher Beitrag

- Endkapital

Es fehlt noch der Zeitraum, in dem die Zinsen ausgezahlt werden, z.B. täglich (schön wärs), monatlich, vierteljährlich, jährlich oder sonst wie. Folgende Größen seien definiert:

 

R - Höhe der Rate

Ir - Intervall für die Raten in Monaten (bei Einmalzahlungen R=0 nehmen und die Zahlung als A verbuchen)

Iz - Intervall für die Zinsausschüttung in Monaten

L - Laufzeit in Jahren

A - Anfangskapital

p - Rendite p.a. der Anlage (bspw. 1.07 für 7% p.a., ohne Zinseszins)

K - Endkapital

 

Die Formel stelle ich für den Fall auf, dass die Raten am Ende des Intervalls eingezahlt werden. Andernfalls einfach die erste Rate auf das Anfangskapital draufrechnen.

 

K = R * (Iz/Ir + (p-1)/12*Iz * (Iz/Ir-1) / 2) * ((1 + (p-1)/12*Iz)^(12*L/Iz) - 1) / ((p-1)/12*Iz) + A * (1 + (p-1)/12*Iz)^(12*L/Iz)

 

Sieht unangenehm aus und ist es auch. Unbedingt die Rechenreihenfolge beachten, wo keine Klammern stehen, sind auch keine gemeint. In meinem oben verlinkten Beitrag findest du eine einfachere Darstellung, die allerdings in ungewöhnlichen Einheiten (Zinsgutschriftintervalle) rechnet und aus 2 Formeln besteht. Diese Variante hier nutzt normale Einheiten (Monate, Jahre), ist geschlossen und zum gedankenlosen Werte-einsetzen geeignet, sieht allerdings eckliger aus. Iz und Ir müssen nicht unbedingt ganze Zahlen sein, allerdings sollte Iz/Ir eine ganze Zahl sein. Die Formel gilt also auch für tägliche Einzahlungen, beispielsweise. 12*L/Iz sollte auch eine ganze Zahl sein.

 

Beispiel für gewöhnlichen Sparplan:

 

- regelmäßige Spardauer (monthly, bimonthly, trimonthly etc.) oder Einmalzahlung --> monatlich

- Laufzeit --> 20 Jahre

- Rendite p.a. der Anlage --> 5%

- Anfangskapital --> 0,- Euro

- monatlicher Beitrag --> 100 Euro

- Endkapital --> GESUCHT

 

Endkapital lautet in dem Fall lt. TR: 40,580.45

 

Meine Frage: Wie lautet die mathematische Formel dafür??? Muss dazu sagen, dass Mathematik im Studium bei mir auch nie wirklich ein Schwerpunkt war und ich hier entsprechend schwach auf der Brust bin.

K = R * (Iz/Ir + (p-1)/12*Iz * (Iz/Ir-1) / 2) * ((1 + (p-1)/12*Iz)^(12*L/Iz) - 1) / ((p-1)/12*Iz) + A * (1 + (p-1)/12*Iz)^(12*L/Iz)

 

R =100

Ir = 1

Iz = ?

L = 20

A = 0

p = 1.05

 

K = 100 * (Iz/1 + (1.05-1)/12*Iz * (Iz/1-1) / 2) * ((1 + (1.05-1)/12*Iz)^(12*20/Iz) - 1) / ((1.05-1)/12*Iz) + 0 * (1 + (1.05-1)/12*Iz)^(12*20/Iz)

K = 100 * (Iz + 0.05/12*Iz * (Iz-1) / 2) * ((1 + 0.05/12*Iz)^(240/Iz) - 1) / (0.05/12*Iz)

 

Für Iz=1:

K = 100 * ((1 + 0.05/12)^240 - 1) / (0.05/12)

K = 100 * (1.004166667^240 - 1) / 0.004166667

K = 41,103.37

 

Für Iz=3:

K = 100 * (3 + 0.05/4) * ((1 + 0.05/4)^80 - 1) / (0.05/4)

K = 100 * 3.0125 * ((1 + 0.05/4)^80 - 1) / (0.05/4)

K = 100 * 3.0125 * (1.0125^80 - 1) / 0.0125

K = 41,005.79

 

Für Iz=12:

K = 100 * (12 + 0.05 * 5.5) * (1.05^20 - 1) / 0.05

K = 40,588.46 (entspricht deinem Ergebnis, aber du hast eine ungenaue Näherungsformel benutzt)

 

Diese Formel kann man auch relativ leicht um andere Effekte, wie z.B. Steuern ergänzen. Solange man aber den einfachen Fall mit monatlicher Einzahlung haben will und nicht allzu viel Wert auf die Genauigkeit (bei nicht-monatlicher Zinsausschüttung) legt, reicht auch die einfachere oben angedeutete Formel K = R * (q^(12*L) - 1) / (q-1) mit q=1+(p-1)/12 (q ist also der monatliche Zins). Sie würde für das Beispiel die 41,103.37 liefern.

 

P.S. Ich hafte für keine Fehler, es ist schon spät.

 

Edit Nr. 1: Ergänzung, dass für p die Rendite ohne den Zinseszins eingesetzt werden muss.

 

Edit Nr. 2: Die Abweichung beim Ergebnis für Iz=12 hatte einen anderen Grund, als ich zuerst angenommen habe.

[Gast240123]

 

 

Nachschüssige Zinsen

Beginn am 01.01.

 

Bei vorschüssigen innerperiodischen Raten ändert sich das Vorzeichen in +1.

[Sladdi]

Die anderen Formeln sind alle etwas vereinfacht und ungenau. Sie setzen beispielsweise voraus, dass die Zinsausschüttung monatlich (in diesem Thread weiter oben) oder jährlich (im verlinkten Thread die Variante von Onassis) erfolgt und die Raten monatlich eingezahlt werden,

 

Hi ipl,

das sehe ich ein wenig anders. Die von ben und mir genannte Formel setzt keinesfalls eine monatliche Zinszahlung voraus. Du kannst nämlich mit einem fiktiven Zins rechnen.

Bsp: wenn Du 10% p.a. bekommst, dann ist der fiktive Monatszins einfach 1,1^(1/12).

 

Gruß

Sladdi

[ipl]

Hi ipl,

das sehe ich ein wenig anders. Die von ben und mir genannte Formel setzt keinesfalls eine monatliche Zinszahlung voraus. Du kannst nämlich mit einem fiktiven Zins rechnen.

Bsp: wenn Du 10% p.a. bekommst, dann ist der fiktive Monatszins einfach 1,1^(1/12).

Ja, das ist schon klar. Und wenn man dann noch mit fiktiven Raten (R * (Iz/Ir + (p-1)/12*Iz * (Iz/Ir-1) / 2)) und fiktiven Jahren (12*L/Iz) rechnet, hat man fast schon die fertige allgemeine Formel für beliebige Zahlungsintervalle. Ich meinte bloß, dass die anderen Formeln alle noch Denkleistung voraussetzen, die sie passend verallgemeinert. Einfach einsetzen kann man da noch nicht, wenn man nicht den einfachen Fall hat.

 

Edit: übrigens ist die Rechnung mit von dir vorgeschlagenen fiktiven Zinsen nicht genau (kann aber natürlich als Näherung durchgehen). Und jetzt weiß ich auch, woher die Abweichung um 8 zwischen meinem Ergebnis und dem von waynehynes kommt.

 

 

Nachschüssige Zinsen

Beginn am 01.01.

 

Bei vorschüssigen innerperiodischen Raten ändert sich das Vorzeichen in +1.

Welches Vorzeichen? Du hast den Rechenweg gar nicht mitzitiert, der davon betroffen ist.

[Gast240123]

Es gibt in der Formel ein +1 und ein -1l. Wenn du das Pluszeichen in ein Pluszeichen änderst, dann bleibt es beim Pluszeichen. Sofern du aber das Minuszeichen in ein Pluszeichen umwandelst, ändert sich auch das Vorzeichen. Daher kann nur das Minuszeichen gemeint sein. Die mathematische Beweisführung ist nicht meine Stärke, ich bin lediglich Anwender, daher ein Verweis auf die dazugehörige Fachliteratur.

[ipl]

Es gibt in der Formel ein +1 und ein -1l. Wenn du das Pluszeichen in ein Pluszeichen änderst, dann bleibt es beim Pluszeichen. Sofern du aber das Minuszeichen in ein Pluszeichen umwandelst, ändert sich auch das Vorzeichen. Daher kann nur das Minuszeichen gemeint sein. Die mathematische Beweisführung ist nicht meine Stärke, ich bin lediglich Anwender, daher ein Verweis auf die dazugehörige Fachliteratur.

???

 

Du hast 11/24 als Konstante in deiner Formel. Für vorschüssige Zahlungen müsste sie 13/24 sein. Wer die allgemeine Formel nicht kennt, kann nur raten, dass die 11 sich aus 12 +- 1 ergibt.

 

Die -1 beim q (der eigentlich einzige Kandidat für den Vorzeichenwechsel) ist davon übrigens freilich nicht betroffen.

[Gast240123]

Okay, danke!

 

Nachschüssig

 

R* =m*R*(1+i*[(m-1/2m)]

 

Vorschüssig

 

R* =m*R*(1+i*[(m+1/2m)]

[Sladdi]

Edit: übrigens ist die Rechnung mit von dir vorgeschlagenen fiktiven Zinsen nicht genau (kann aber natürlich als Näherung durchgehen).

 

Hi,

wie kommst Du darauf?

 

Mal angenommen, ich will mein Kapital in einem Jahr kennen, dann gilt ja folgende Formel:

 

K1 = K0*ZINS

 

Jetzt kann ich aber auch fordern, daß die Zinsen monatlich gezahlt werden und ich am Ende auf das selbe Kapital komme:

 

K1 = K0*ZINS_fiktiv^12

 

Gleichsetzen liefert

 

K0*ZINS=K0*ZINS_fiktiv^12

 

Durch K0 dividieren und nach ZINS_fiktiv umstellen liefert:

 

ZINS_fiktiv = ZINS^(1/12)

 

Wo ist mein Denkfehler?

 

Gruß

Sladdi

[Flasher]

Hallo!

 

Aus dem Urlaub zurück und sofort wieder mein Lieblingsthema auf dem Tisch

 

Ich habe in einem anderen Thread mal meine Formelsammlung aus der Vorlesung "Finanzmathematik" eingescannt:

 

 

Ich denke da ist alles drauf, was das Herz begehrt!

 

Grüße,

 

Flasher

[ipl]

Hi,

wie kommst Du darauf?

 

Mal angenommen, ich will mein Kapital in einem Jahr kennen, dann gilt ja folgende Formel:

 

K1 = K0*ZINS

 

Jetzt kann ich aber auch fordern, daß die Zinsen monatlich gezahlt werden und ich am Ende auf das selbe Kapital komme:

 

K1 = K0*ZINS_fiktiv^12

 

Gleichsetzen liefert

 

K0*ZINS=K0*ZINS_fiktiv^12

 

Durch K0 dividieren und nach ZINS_fiktiv umstellen liefert:

 

ZINS_fiktiv = ZINS^(1/12)

 

Wo ist mein Denkfehler?

 

Gruß

Sladdi

Das ist nur für die Einmalanlage egal, die hier zitierte Überlegung enthält also in der Form keinen Fehler. Die Abweichung tritt erst auf, wenn man diese Formeln auf mehrere Raten anwendet.

 

Beispiel: wir betrachten ein Jahr mit 10% p.a., jährlicher Zinsausschüttung und halbjährlicher Einzahlung von je 100 (am Anfang und nach 6 Monaten). Pro Halbjahr bekommt man nominal 5% auf die Einlage. Das heißt man bekommt 10% auf die erste Rate und 5% auf die zweite Rate, also 15 Zinsen. Insgesamt hat man danach 215. Wenn man den "fiktiven Zins" pro Halbjahr berechnet, wäre das die Quadratwurzel aus 1.1, also ca. 1,0488 (bzw. 4,88%). Auf die erste Rate würde man mit deiner Formel mit dem Zinseszinseffekt wieder 10% bekommen, auf die zweite jedoch nur noch 4,88% statt 5% und hätte somit insgesamt 214,88 als Ergebnis mit 12 Cent Abweichung.

 

Der "Denkfehler" besteht darin, dass die "fiktiven Zinsen" so berechnet werden, dass sie mit dem unterstellten "fiktiven Zinseszinseffekt" (der real bei nicht-monatlicher Zinsausschüttung kleiner ist) genau für die erste Rate stimmen - aber dann stimmen sie für die späteren Raten nicht mehr, da ihnen aufgrund der kleineren Zeitspanne, in der sie Zinsen erwirtschaften, der "fiktive Zinseszins" fehlt, um auf korrekte Höhe der Zinsen zu kommen. Die erste Rate kommt mit 1.0488*1.0488 auf die tatsächlichen 1.1 (Rundungsfehler vernachlässigt), die Verzinsung der zweiten Rate verfehlt aber mit 1.0488 ihren "realen Zins" von 1.05.

 

Ich denke da ist alles drauf, was das Herz begehrt!

Auch da gibt es nur Formeln für monatliche Einzahlungen und nicht für beliebige Intervalle. Ich bezweifle inzwischen stark, dass die von mir hergeleitete Formel in irgendeiner Formelsammlung steht...

[Flasher]

@ ipl

 

Auch da gibt es nur Formeln für monatliche Einzahlungen und nicht für beliebige Intervalle

 

Wo du Recht hast, hast du Recht

Aber ich sage jetzt einfach mal in meinem jugendlichen Leichtsinn, dass man von der "monatlichen" Formel auch andere Formeln (zeitlich gesehen) ableiten kann

 

Ich denke aber das "monatlich" der Standardfall sein dürfte!

 

Grüße,

 

Flasher

[Reigning Lorelai]

Hallo liebe Kollegen,

 

@Schlafmuetze&ipl: Für mich als Mathe-Idioten: 11/24 ist ne Konstante wobei bei vorschüssiger Zahlung 13/24 zu verwenden ist?

 

@Sladdi/ipl/Flasher: Ich weiß nicht ob wir das jeweils schon mal per PN hatten da ich doch einige bekomme aber studiert ihr noch und wenn ja was und wo geht berufliche Karriere hin

 

@Flasher: Geile Handschrift habe nur lachen müssen als du dann später vom "jugendlichen Leichtsinn" geredet hast.. Mensch so ne Schrift hatte ich zuletzt vor 20 Jahren. Aber danke für die Tabelle. Evtl. kommt mein Bruder oder ich auf dich zurück w/ evtl. Fragen.. hoffe also du bist fit in dem Thema

 

@ipl: Maximum Respekt!!!!!!!!!!!!

 

Danke natürlich auch an alle anderen für die glaub ich (ich kanns leider nicht wirklich beurteilen) sehr gute Hilfestellung.

 

Gruß

 

W.Hynes

[ipl]

Hallo liebe Kollegen,

 

@Schlafmuetze&ipl: Für mich als Mathe-Idioten: 11/24 ist ne Konstante wobei bei vorschüssiger Zahlung 13/24 zu verwenden ist?

Einfache Antwort: ja.

Genaue Antwort:

Kn = Rne * (q^n - 1) / (q - 1)

Rne = R * (m + p * (m - 1) / 2)

 

Mit "Zinsgutschriftintervallen" sind im Folgenden Intervalle gemeint, in denen die Zinsgutschrift erfolgt, also z.B. 3 Monate, wenn die Zinsgutschrift alle 3 Monate erfolgt.

Kn - Endkapital nach n Zinsgutschriftintervallen

n - Laufzeit in Zinsgutschriftintervallen

q - Zinssatz auf das Zinsgutschriftintervall gerechnet (z.B. 1,055 für 5,5%), fürs Ausrechnen einfache Division wie oben verwenden

p - Zinssatz auf das Zinsgutschriftintervall gerechnet (z.B. 0,055 für 5,5%), fürs Ausrechnen einfache Division wie oben verwenden

Rne - äquivalente "Zinsgutschriftintervall-Endrate"

R - Rate

m - Anzahl Raten pro Zinsgutschriftintervall

 

Edit Nr. 2. Ach ja, damit die Rne-Formel von Onassis gilt, muss die erste Einzahlung am Ende des ersten Zahlungsintervalls erfolgen, also z.B. nach einem Monat, wenn man jeden Monat einzahlt. Wenn man jedoch die erste Rate gleich am ersten Tag einzahlt, sollte man Rne = R * (m + p * (m + 1) / 2) ansetzen.

Wenn man die Formel "Rne = R * (m + p * (m - 1) / 2)" nimmt und zunächst m ausgeklammert, kommt man auf "Rne = m * R * (1 + p * (m - 1) / (2m) )". Setzt man R=100, p=0,05 und m=12, erhält man die besagte Gleichung "Rne = 12*100*(1+11/24*0.05)". Beachtet man das "Edit Nr. 2" korrekt, so kommt man bei vorschüssigen Zahlungen auf "R = 12*100*(1+13/24*0.05)". Hier wird nichts anderes als der durchschnittliche Zinssatz berechnet, der auf die Raten gezahlt wird. Bei nachschüssiger Zahlung ist das der Durchschnitt zwischen 11/12 des Zinses für die erste Rate und 0/12 für die letzte, also 0.5*(11+0)/12 = 11/24. Bei vorschüssiger Zahlung ist das der Durchschnitt zwischen 12/12 des Zinses für die erste Rate und 1/12 für die letzte, also 13/24.

 

@Sladdi/ipl/Flasher: Ich weiß nicht ob wir das jeweils schon mal per PN hatten da ich doch einige bekomme aber studiert ihr noch und wenn ja was und wo geht berufliche Karriere hin

Ich studiere noch, "hauptberuflich" Informatik. Die Karriere sollte entweder in Richtung Forschung&Entwicklung im Bereich Künstliche Intelligenz gehen oder in Richtung eigenes Softwareunternehmen oder beides (erst an der Uni forschen und dann Spin-off gründen). Dass ich dabei kein 0815-Webdesign-"Unternehmen" im Sinn habe, dürfte klar sein.

 

 

 

@ ipl

Wo du Recht hast, hast du Recht

Aber ich sage jetzt einfach mal in meinem jugendlichen Leichtsinn, dass man von der "monatlichen" Formel auch andere Formeln (zeitlich gesehen) ableiten kann

 

Ich denke aber das "monatlich" der Standardfall sein dürfte!

Natürlich kann man die Formel (auch daraus) herleiten, sie ist ja kein Axiom. Aber jemand muss das halt tun und nicht nur sagen, dass das irgendwie gehen müsste. Und Wayne wollte explizit auch andere Einzahlungsintervalle, sonst hätt ich hier gar nichts gepostet, da das dann schon recht gut mit Standardformeln ginge.

[Flasher]

@ waynehynes

 

@Flasher: Geile Handschrift thumbsup.gif habe nur lachen müssen als du dann später vom "jugendlichen Leichtsinn" geredet hast.. Mensch so ne Schrift hatte ich zuletzt vor 20 Jahren. Aber danke für die Tabelle. Evtl. kommt mein Bruder oder ich auf dich zurück w/ evtl. Fragen.. hoffe also du bist fit in dem Thema

 

Nichts gegen meine Handschrift, die habe ich aus der 3. Klasse ins Studium gerettet

Ja, ich denke doch, dass ich anhand meines Scripts auf Fragen gut eingehen kann. Das Thema an sich, ist eigentlich garnicht so schwer.

 

@Sladdi/ipl/Flasher: Ich weiß nicht ob wir das jeweils schon mal per PN hatten da ich doch einige bekomme aber studiert ihr noch und wenn ja was und wo geht berufliche Karriere hin

 

Ich studiere "allgemeine Informatik" und habe dieses Themen (Finanzmathematik, Statistik, Operations Research) eigentlich nur als "Nebenfach" gelernt. Aber es hat natürlich super zu meinem "Hobby" gepasst. Habe mir schon für meine spätere berufliche Zukunft überlegt, die Themen Informatik & Kapitalmärkte/Börse zu verbinden, allerdings weiß ich nicht ob es hierfür die entsprechenden Stellenangebote gibt. Mein Schwerpunkt lag bisher eigentlich eher im Bereich Systemvernetzung.

 

Grüße,

 

Flasher

[Reigning Lorelai]

Guten Tag Community,

 

ich habe die besondere Ehre diesen Thread wiederzubeleben... sogar ich habe verstanden was gesucht ist aber wie man es errechnet weiß ich persönlich beim besten Willen nicht. Kapiere ja schon die ersten beiden Formel nicht...

 

Gruß

W.Hynes

 

hey wayne

 

anbei die formeln wie schon per telefon besprochen wo ich schwierigkeiten habe.. vielleicht findest du ja was raus.. ich mache das am besten mit einem beispiel da schwer zu beschreiben:

 

beispiel 1:

monatliche zahung --> m = 12

laufzeit --> 20 jahre --> 240 monate

zins: 7% nominal

anfangskapital: 0 Euro

monatliche zahlung: 100 Euro

endwert? laut ergebnis: 52.092,67 ¤

 

auf das ergebnis oben komme ich in dem ich die zahlen in die formel Kn = E * [((1+(p/100*m))^n*m -1) / ((1+(p/100*m))-1)] einsetze. dabei steht "E" für die monatlichen einzahlungen.

 

beispiel 2:

haargenau das selbe beispiel nur mit dem unterschied, dass der endwert von 60.000 gegeben ist. ziel ist diesmal zu berechnen wie hoch die monatlichen einzahlungen sein müssen. die formel lautet hierfür:

 

E = (Kn-(K0 * (1+(p/100*m))^n*m)) * [((1+(p/100*m))-1) / (((1+(p/100*m))^n*m) - 1)]

(60000-(0*((1+(7/100*12))^(12*20))))*(((1+7/(100*12))-1)/((1+7/(100*12))^(12*20)-1)) = 115,18 Euro.

 

beispiel 3 & 4:

hier genau bezieht sich meine frage:

wie muss die formel umgeschrieben werden, wenn man "n" (also die laufzeit) und "p" (also den zinssatz) berechnen will

 

habe mir da jetzt n ganzes we den kopf zermattert aber ich komme auf die lösung einfach nicht.... vielleicht kennst du ja jemanden der das lösen kann wenn du zeit hast.

 

thx in advance

 

dennis

[steff123]

Guten Tag Community,

 

ich habe die besondere Ehre diesen Thread wiederzubeleben... sogar ich habe verstanden was gesucht ist aber wie man es errechnet weiß ich persönlich beim besten Willen nicht. Kapiere ja schon die ersten beiden Formel nicht...

 

Gruß

W.Hynes

 

 

verstehst du die Buchstaben m,n,p ... nicht?

[Reigning Lorelai]

m = Anzahl der Einzahlungen im Jahr

n = Laufzeit in Jahre

p = Zinssatz

 

Das kriege ich gerade noch hin. Schließlich habe ich ja auch mal studiert. MeinProblem ist hier die beiden ersten Formeln nachvollziehen zu können warum sich diese so aufbauen. Und die Frage (auf die es letztendlich ankommt) lautet jetzt eben wie man die Formel umstellen muss damit man "n" und "p" als Lösung erhält.

 

Gruß

W.Hynes

[steff123]

MeinProblem ist hier die beiden ersten Formeln nachvollziehen zu können warum sich diese so aufbauen.

 

Du willst jetzt also ne Herleitung?

 

Ok, ganz spontan aus dem Kopf. Grundsätzlich verwende ich q=1+i, d.h. bei 7% Zinsen ist q=1,07

 

Bei einer jährlich nachschüssigen Rente R ist der Rentenendwert

 

E= R*q^(n-1) + R*q^(n-2) ..... + R* q ^1 + R*q^0

 

wir multiplizieren die Gleichung mit q

 

=> q*E = R*q^n + R*q^(n-1) ..... + R* q ^2 + R*q^1

 

und ziehen die erste von der 2. ab

 

=> E* (q-1) = q*E - E = R * q^n - R * q^0= R * (q^n - 1)

 

Dividieren durch q-1 (es ist übrigens q-1=i)

 

=> E = R * (q^n - 1) / i

 

 

Bei monatlichen Zahlungen ersetzt man i durch einen monatlichen Zins und n durch die Anzahl der insgesamt zu leistenden Zahlungen (also 12* Anzahl der Jahre).

 

n berechnet man einfach mit log ((E * i / R + 1)) / log(q) . Einfach nach q^n umstellen und ein bisschen logarithmieren.

 

i kann man direkt nicht berechnen, falls n > 3 . Dies geht nur iterativ. z.B. mit dem Newton-Verfahren

 

Du nimmst dir einfach einen Startwert i_0 und berechnest dann

 

i_(k+1) = i_k - f(i_k) / f'(i_k)

 

mit f(i_k) = R * ((1+i_k)^n - 1) / i_k - E

 

und der 1. Ableitung von f

 

f'(i_k) = R * (n*( 1 + i_k )^(n-1)*1 - ( 1 + i_k )^n + 1 ) / i_k^2

 

 

Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet. Praktisch empfehle ich dir aber lieber bei der Berechnung des Zinssatzes die Excel Zielwertsuche zu verwenden oder eine eingebaute Excel-Funktion

[Delphin]

ich habe die besondere Ehre diesen Thread wiederzubeleben... sogar ich habe verstanden was gesucht ist aber wie man es errechnet weiß ich persönlich beim besten Willen nicht. Kapiere ja schon die ersten beiden Formel nicht...

Hallo Wayne,

 

was genau ist deine Frage? Wenn du sagst du verstehst die erste Formel nicht, dann versuch ich einfach mal die einigermassen anschaulich herzuleiten, vielleicht ist sie dann weniger fremd.

 

Also, fangen wir an mit folgendem Sachverhalt:

 

Wie wollen zunächste wissen wieviel Kapital wir mit einem Sparplan erzielen können. Wir gehen davon aus, dass wir am Anfang einer jeden Periode (z.B. Monat oder Jahr) eine Rate einzahlen (vorschüssige Rente) und am Ende einer jeden Periode die Zinsen gutgeschrieben werden. Gegeben sind also:

 

r - die Rate die am Anfang einer jeden Periode eingezalt wird

n - die Anzahl der Perioden, die gespart wird (ganze Zahl)

i - der Zinssatz, mit dem am Ende einer jeden Periode verzinst wird, (für 6% ist i=0,06)

q - der Zinsfaktor, es gilt q = 1 + i (die Formeln lassen sich mit dem Zinsfaktor q einfach übersichtlicher schreiben)

 

Gesucht ist:

Rn - das Kapital am Ende der Sparzeit (=Rentenendwert, engl. auch forward value)

 

Der Sparplan hat einen konstanten Zinsatz für alle Perioden, verhält sich also wie ein Tagesgeldkonto mit festem Zinssatz und Zinsgutschrift am Ende der

Periode. Nun stellen wir uns vor, wir würden jede Rate in ein jeweils neues Tagesgeldkonto einzahlen, in dem sie dann getrennt von den anderen Raten verzinst wird, am Ende ist der Gesamtwert aller Tagesgeldkonten genau der Betrag den wir suchen.

 

Schauen wir uns also mal an was mit der ersten Rate geschieht. Sie wird am Anfang der ersten Periode eingezahlt, am Ende der Periode kommen Zinsen darauf, dass heißt direkt danach ist die Rate um den Zinsfaktor angewachsen und auf dem Konto sind

 

r * q

 

D.h. aus 100 € sind bei 6%, dann genau 100€ * 1,06 = 106€ geworden. Am Ende der zweiten Periode sind es r * q * q und am Ende der dritten Periode r * q^3. Am Ende der Sparzeit ist aus der ersten Rate somit

 

r * q^n

 

geworden. Der zweiten Rate ergeht es auf ihrem Konto ähnlich, nur dass sie eine Periode später eingezahlt wird, und also auch eine Periode kürzer verzinst wird, sie wächst also auf r * q^(n-1). Entsprechend entwickeln sich die anderen Raten, die letzte Rate wird nur einmal verzinst und wächst also auf []r * q^1[/i].

 

Unser gesuchter Betrag ist also:

 

Rn = r * q^n + r * q^(n-1) + ... + r * q^2 + r * q^1

 

Hier kann man zunächst einmal r ausklammern

 

Rn = r * [ q^n + q^(n-1) + ... + q^2 + q^1]

 

Das ist eigentlich schon die Lösung, wenn nicht schlaue Leute nach viel Rumprobieren festgestellt hätten, dass man diese Formel noch kürzen schreiben kann. Dazu multipliziert man die obige Formel mit q, d.h. man berechnet sozusagen, wieviel man anch einer weiteren Periode (ohne erneute Sparrate) erzielt hätte, und erhält somit

 

Rn * q = r * [ q^(n+1) + q^n + ... + q^3 + q^2]

 

Diese Gleichung ist genauso richtig wie die erste, deshalb können wir auch die ganze erste Gleichung von der zweiten abziehen und erhalten wieder eine richtige Gelichung. Hierbei fallen viele der Summanden weg, sieht man besonders gut, wenn man die Formeln mal sauber untereinander schreibt, man erhält:

 

Rn*q - Rn = r * [ q^(n+1) - q^1 ]

 

Also

 

Rn * (q -1) = r * [ q^(n+1) - q ]

 

und

 

Rn = r * [ q^(n+1) - q ] / [ q - 1 ]

 

Man kann jetzt noch ein q im Zähler ausklammern, dann sieht's aus wie in vielen Lehrbüchern:

 

Rn = r * [ q * (q^n - 1) ] / [ q - 1 ] ] (Formel für den vorschüssigen Rentenendwert)

 

Dies ist die zentrale Formel, von der ich behaupten würde, es ist hilfreich sie auswendig zu können. Wenn man damit rechnet, muss man lediglich beachten, dass der Zinssatz (und Zinsfaktor) sich immer auf eine Periode beziehen muss. Wenn man monatlich spart, muss man also einen monatlichen Zinssatz verwenden. Ist der jährliche Zinsfaktor gegeben, so berechnet man den monatlichen wie folgt:

 

q* = q^(1/12) (also q* = 12te-Wurzel-aus(q))

 

Die Formel, die du zu verstehen versuchst, Wayne, setzt hier q* = q/12, das wäre der monatliche Zins auf einem Konto, dass jährlich die Zinsen gutschreibt, allerdings sieht in diesem Fall auch die Rentenformel komlizierter aus, die Formel von dennis is m.E. in dem Punkt nicht genau, aber der Unterschied ist für die Praxis nicht so bedeutend.

 

 

Ok, was ist nun wenn z.B. die Laufzeit gesucht ist bei gegebenem Endkapital? Man kann die Rentenformel auflösen nach n:

 

n = ln[ ( Rn * (q - 1) / ( r * q ) ) +1 ] / ln[q]

 

Auch wenn die Rate gesucht ist, kann man die Formel einfach nach r aufösen:

 

r = R * [ q - 1 ] / [ q * (q^n - 1) ]

 

Wenn der Zinssatz/Zinsfaktor gesucht ist, kann man die Formel leider nicht auflösen! In diesem Fall kann man nur durch ausprobieren die Lösung durch schrittweise Näherung herausbekommen. Deshalb findet man auch so viele Renditerechner im Internet, für die anderen drei Fragestellungen braucht man das eigentlich nicht, da kommt man auch mit einem herkömmlichen Taschenrechner klar.

 

 

So, man möge mir verzeihen, wenn diese Erklärungen für den einen odere anderen zu simpel sind. Man kann diese Rentenformel noch allgemeiner formulieren für den Fall, dass die Zinszahlungen zu anderen Zeiten als immer nur am Ende der Periode stattfinden, ipl hat das weiter oben im Thread gemacht. Und noch ein Tipp, schreibt euch die Formel hier mal auf einem Blatt Papier auf, dann sieht die viel überschaubarer aus als in dieser Computer-Notation.

 

EDIT: Tja, da war der steff123 schneller, kommt davon, wenn man andere Sachen zwischendurch macht.

Grüße vom Polarkreis!

 

EDIT: Fehler korrigiert (Danke steff!)