Markowitz - Minimum Varianz Portfolio - Berechnung

[Dendi]

Servus Jungs,

 

da ich mich derzeit auf die Diplomprüfungen vorbereite und dafür auch bissle was rechnen muss, acker ich mich gerade mal durch die Skripte durch.Ich häng gerade bei der Berechnung eines Minimum-Varianz Portfolios (unterschiedliche Definitionen - unser Prof definiert es so, dass dort die minimale Standartabweichung im mü/sigma Diagramm erreicht wird -> Schnittpunkt effiziente und ineffiziente Portfolios auf dem effizienten Rand, teilweise steht es in der Literatur anders definiert da) im zwei-Aktien Fall.

 

Folgende Ausgangsdaten habe ich berechnet:

 

Erwartungswerte

B = 0,88%

A = 0,64%

 

Varianzen

B = 0,02862%

A = 0,01034%

 

Standardabweichungen

B = 1,692%

A = 1,017 %

 

Kovarianz

-0,003072 %

 

Korrelation

-0,1785

 

Als Fomel fürs MVP wollte ich gern folgende verwenden:

 

VarianzP = x² VB² + (1-x)² VA² + 2(x-x²)

 

bzw.

 

x = (VB² - Cov) / (VA²+VB²-2*Cov)

 

irgendwie erhalte ich aber Ergebnisse, die (in der grafischen Darstellung) nicht mal ansatzweise in die Nähe des von mir erwarteten MVP Punktes kommen (müsste bei ca. Sigma 0,82 und Mü 0,69 liegen).

 

Hat wer ne Hilfestellung wo ich den Fehler in der Formel habe, bzw. welche Annahmen ich gerade verhau ^^?

 

Wo ich gerade dabei bin:

 

2. Frage

 

Falls jemand nen Casio (fx-991 MS) hat und eventuell auch dort ne Ahnung, wie man die Kovarianz im 2-Aktien Fall eingeben könnte (Standartabweichung ist kein Problem *g*) wäre ich dankbar

 

Merci und viele Grüße

 

Dendi

[Gast240123]

Benötigt man bei der Markowitz-Diversifikation nicht den risikolosen Zinssatz? :'(

[€-man]

Ist wirklich nicht mein Fachgebiet, aber ich habe mal versucht mein Depot zu bewerten.

Vielleicht ist etwas für Dich dabei.

 

Klick.

 

Gruß

-man

[Dendi]

Erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten Jungs

 

@ schlafmuetze:

Es gibt zwei grundlegende Unterschiede:

 

1. die "klassiche Portfoliotheorie" nach Markowitz. Hier wird eigentlich nur von risikobehafteten Anlagen ausgegangen (in meinem Beispiel ein 2-Aktien Fall). Die Möglichkeit in eine risikolose Anlage (wie der risikolose Zins ist) existiert nicht. Deshalb existiert ein effizienter Rand (eine Kurve aller Kombinationen zweier Anlageformen im mü/sigma Diagramm) auf der, je nach Risikoneigung des Investors (Nutzenfunktion die Investorenindividuell ist) ein "investorenoptimales" (nicht optimales - man muss mit den Begriffen vorsichtig sein sagt mein Prof *g*) Portfolio existiert.

 

2. die Tobin-Seperation oder das Marktmodell. Es baut auf den Aussagen von Markowitz auf, erweitert es allerdings um die Möglickeit in eine risikolose Anlage zu investieren (den risikolosen Zins, den Du meintest) sowie die Möglichkeit zur Verschuldung. Hier existiert auch formell kein effizienter Rand mehr sondern es existiert wirklich ein effizienter Punkt (Annahme: der risikofreie Zins ist sowohl für Anlage als auch für Verschuldung gleich) bzw. ein effizienter Bereich (sobald Anlage & Kreditzins auseinanderfallen). Das investorenoptimale Portfolio definiert sich hier nicht aus der Gewichtung der jeweiligen Aktien, sondern aus der Menge der Anlage in den risikofreien Zins (bzw. sogar darüber hinaus wenn man sich verschulden will). Somit hat man, sobald man 100% des Budgets in Aktien investiert die Schnittstelle zwischen Markowitz-Kurve (ich nenn sie jetzt mal so) und dem risikofreien Zins (als Tangenta) und somit das optimale Portfolio für 100% Aktien mit einer dann festgelegten Gewichtung.

 

@ -Man

Hab mir die Seite schon vorher ma angeschaut, da fehlt noch die Formel die ich gesucht habe Hab mit der obigen Formel noch bissle rumgebastelt, mitlerweile klappt es, ich hab einfach nur einen Zahlendreher in der vorherigen Berechnung gemacht *waaaaaaaaaargh*

 

Gruß Dendi

[Delphin]

Folgende Ausgangsdaten habe ich berechnet:

 

Erwartungswerte

B = 0,88%

A = 0,64%

 

Varianzen

B = 0,02862%

A = 0,01034%

 

Standardabweichungen

B = 1,692%

A = 1,017 %

 

Kovarianz

-0,003072 %

 

Korrelation

-0,1785

 

Als Fomel fürs MVP wollte ich gern folgende verwenden:

 

VarianzP = x² VB² + (1-x)² VA² + 2(x-x²)

 

bzw.

 

x = (VB² - Cov) / (VA²+VB²-2*Cov)

Zwar sagst du, du hast den Fehler wohl schon gefunden, aber bei deiner Auflistung macht mich so einiges stutzig.

 

1. Für alle Rechnungen ist es einfacher nicht in der Einheit % zu rechnen. Ein häufiger Erwartungswert für Aktien ist z.B. 0,10 (= 10%), eine häufige Standardabweichung 0,2 (= 20%), das entspricht einer Varianz von 0,04 (hier geht % nicht!, ist ja das Quadrat der Standardabweichung).

 

2. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Irgendwie kann ich das bei deinen Zahlen nicht so recht sehen. Sind die Zahlen irgendwie realistätsbezogen, handelt es sich um tatsächliche Anlagen?

 

3. Die Formel für die Varianz des MVP muss falsch sein, das siehst du an den Einheiten. x hat keine Einheit, aber dann multiplizierst du mit VB zum Quadrat. Ich nehme an das VB die Varianz von B sein soll? Dann hat dein erster Summand also schon mal die falsche Einheit um eine Varianz zu ergeben. Der letzte Summand hat dan gar keine Einheit, also das kann wirklich nicht stimmen.

 

EDIT: Hab noch mal über deiner Varianz-Formel gebrütet, ich nehme du meinst diese:

 

Varianz eines Portfolios aus zwei Anlagen:

 

VP = x^2 * sa^2 + (1-x)^2 * sb^2 + 2 * x * (1-x) * sa * sb * r

 

Diese Gleichung gilt für alle Portfolios, sucht man das mit der geringsten Varianz. Muss man sich die Varianz als eine Funktion von x, des Gewichtes der Anlage A vorstellen. Von dieser Funktion sucht man das Minimum, also eine Nullstelle in der ersten Ableitung nach x. Das führt auf die Formel unten.

 

Hast du das mal von Hand nachgerchnet? Sehr lehrreich zum Verständnis.

 

END EDIT

 

4. Die Formel für das Gewicht x eines MVP sollte so lauten:

 

x = (sb^2 - sa * sb * r) / (sa^2 + sb^2 - sa * sb * r)

 

sa, sb = die Standardabweichungen (sigma), also sa^2 die Varianz (bei dir VA, glaube ich)

r = der Korrelationskoeffizient (rho)

sa*sb*r = Kovarianz, nur zum besseren Verständnis

 

Bei dir stimmen wieder die Einheiten nicht, in deiner Formel müsstest du die Quadrate weglassen, also die Varianzen verwenden, oder eben mit den Standardabweichungen rechnen, dann natürlich quadrieren.

 

Ich nehme an, da liegt der Hund begraben.

[Dendi]

Zwar sagst du, du hast den Fehler wohl schon gefunden, aber bei deiner Auflistung macht mich so einiges stutzig.

dann schauen wirs mal durch

 

1. Für alle Rechnungen ist es einfacher nicht in der Einheit % zu rechnen. Ein häufiger Erwartungswert für Aktien ist z.B. 0,10 (= 10%), eine häufige Standardabweichung 0,2 (= 20%), das entspricht einer Varianz von 0,04 (hier geht % nicht!, ist ja das Quadrat der Standardabweichung).

ist leider durch unseren Prof so vorgegeben, dass wir in % rechnen sollen und nicht in absoluten Zahlen im Taschenrechner arbeite ich zwar immer mit absoluten Zahlen, jedoch soll es ausformuliert halt in % darstehen.

 

wo Du mir allerdings gerade helfen musst, warum ist die Varianz als absolute Zahl darzustellen? Lasse ich gerade mathematische Basics vermissen? Wenn ich 10% habe und das quadriere kommt 1% raus, oder geht hierbei die Einheit verloren? Das wäre für mich zwar peinlich, für meinen Prof aber noch deutlicher, da seine Musterlösungen auf % lauten auch in der Varianz

 

2. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Irgendwie kann ich das bei deinen Zahlen nicht so recht sehen. Sind die Zahlen irgendwie realistätsbezogen, handelt es sich um tatsächliche Anlagen?

Die Daten sind aus der Übungsklausur welche wir geschrieben haben. Einfach in absolute Zahlen umschreiben, dann passt es:

 

Stabw B = 0,01692 bzw. 1,692 % -> Quadrieren = Varianz

Varianz B = 0,0002862 bzw. 0,02862 % -> Wurzel = Stabw

 

3. Die Formel für die Varianz des MVP muss falsch sein, das siehst du an den Einheiten. x hat keine Einheit, aber dann multiplizierst du mit VB zum Quadrat. Ich nehme an das VB die Varianz von B sein soll? Dann hat dein erster Summand also schon mal die falsche Einheit um eine Varianz zu ergeben. Der letzte Summand hat dan gar keine Einheit, also das kann wirklich nicht stimmen.

 

4. Die Formel für das Gewicht x eines MVP sollte so lauten:

x = (sb^2 - sa * sb * r) / (sa^2 + sb^2 - sa * sb * r)

 

streich die erste Formel, das is der absolute Mumpitz, da war ich nicht mehr wach ^^ die zweite (untere) ist richtig, ist exakt Deine, allerdings fehlt bei Dir noch das 2* vor der Kovarianz im Nenner!

 

 

/edit also sind nurnoch 2 Fragen offen:

 

1. meine mathematischen Grundkenntnisse

2. die Kovarianz im Taschenrechner berechnen lassen *g*

 

Gruß Dendi

[Delphin]

ist leider durch unseren Prof so vorgegeben, dass wir in % rechnen sollen und nicht in absoluten Zahlen im Taschenrechner arbeite ich zwar immer mit absoluten Zahlen, jedoch soll es ausformuliert halt in % darstehen.

Dem stimme ich zu.

 

Sorry, hatte mich schlecht ausgedrückt, wollte folgendes anmerken: Das Ergebnis soll natürlich gern in % notiert werden. Wichtig ist aber, zu verstehen, das % nur eine Abkürzung für pro Hundert ist also /100. Somit gilt

 

0,06 = 6 / 100 = 6%.

 

Das ist wichtig wenn man z.B. die Varianz aus der Standardabweichung berechnet. Nehmen wir an die Standardabweichung wäre s = 20%, gesucht wäre die Varianz v.

 

Es gilt

 

(1) v = s^2 = (0,2)^2 = 0,04 und somit 4% wenn man so will.

 

Aber man muss gut aufpassen, dass man nicht mit der Prozentzahl selbst rechnet:

(2) v = s^2 = (20)^2 = 400 ist natürlich Humbug, auch wenn man das Ergebnis als in Prozent notiert deutet (400%). Diese Rechnung ist deswegen falsch, weil man die Einheit Prozent nicht mit-quadriert. Völlig korrekt wäre eben:

 

(3) v = s^2 = (20%)^2 = (20/100)^2 = 20^2 * %^2 = 400 * (1/100)^2 = 400 / 10000 = 0,04.

 

Ich weiß, etwas unorthodoxe Schreibweise, aber es macht deultich das alles mit renten Dingen zugeht. Am besten gewöhnt man sich an, in den Formeln immer das %-Zeichen aufzulösen, aus 4% wird immer 0,04; dann kann nix schiefgehen.

 

Aber so wie es aussieht, kommst du ja nicht mal auf den Gedanken, die 20 zu quadrieren. Also alles bestens, inoriere einfach mein kurze Gedankenspiel.

 

wo Du mir allerdings gerade helfen musst, warum ist die Varianz als absolute Zahl darzustellen? Lasse ich gerade mathematische Basics vermissen? Wenn ich 10% habe und das quadriere kommt 1% raus, oder geht hierbei die Einheit verloren? Das wäre für mich zwar peinlich, für meinen Prof aber noch deutlicher, da seine Musterlösungen auf % lauten auch in der Varianz

Sorry, da wollte ich dich nicht verwirren. Du hast schon recht, da das % ja immer erst nach dem Rechnen lediglich als abkürzende Schreibweise für das Ergebnis verwendet wird, wird es natürlich niemal quadriert. Und überhaupt hätte ich das mit den Einheiten vielleicht besser nicht gesagt, denn selbstverständlich ist % keine Einheit, sondern nur ein Abkürzung. Alle Größen in den Markowitz-Formeln haben keine Einheiten.

 

Trotzdem ist die Varianz in Bezug auf den Erwartungswert und die Standardabweichung eine quadratische Größe, das liegt shlicht daran, dass die Varianz die quadrierte Standardabweichung ist. Man wird also in keiner Formel sehen, dass diese beiden Größen je addiert werden, genauso wie in der Physik, wo man nie Zahlen mit unterschiedlichen Einheit addiert. Das kann eine Hilfe sein beim Fehlerfinden, so hätte ich schreiben sollen.

 

Ich finde es verwirrend, wenn man Standardabweichung und Varianz gleichermaßen in % notiert, weil das irgendwie so aussieht, als wenn das vergleichbare Größen wären, aber wer wäre ich, deinem Prof. zu widersprechen.

 

streich die erste Formel, das is der absolute Mumpitz, da war ich nicht mehr wach ^^ die zweite (untere) ist richtig, ist exakt Deine, allerdings fehlt bei Dir noch das 2* vor der Kovarianz im Nenner!

Absolut richtig, danke. 1:0 für dich.

 

/edit also sind nurnoch 2 Fragen offen:

1. meine mathematischen Grundkenntnisse

Kann da keine Probleme sehen. Was meinst du?

2. die Kovarianz im Taschenrechner berechnen lassen *g*

Da bin ich wahrlich kein Experte, aber richtig einfach geht das nur mit einem Taschenrechner der mehrdimensionale Statistik beherrscht, wo du also zwei Zahlenreihen eingeben kannst, mein alter Schulrechner macht nur eine Zahlenreihe. Für Markowitz berechne ich einfach direkt den Korrelationskoeffizienten mit Excel, aber das ist dir wahrscheinlich keine Hilfe für die Klausur.

[Dendi]

Hehe ich muss die Frage mir für morgen trotzdem aufheben, ich glaub damit verwirre ich den gesamten Kurs

 

Ne hast scho recht, in absoluten Zahlen ist es mir persönlich auch deutlich lieber, allerdings gib es halt leider die Vorgabe in der Klausur, weshalb ich aktuell schon versuche mit möglichst vielen % zu rechnen. Das die Varianz natürlich als quadratische Zahl nicht vergleichbar mit der Stabw oder ähnlichen Prozentangaben ist, ist absolut logisch Werde mich trotzdem bemühen mich nächstes Mal klarer auszudrücken *g*

 

Dem Prof kannst übrigens gerne wiedersprechen, wer rechtsschiefe und linksschiefe einer Verteilung verwechselt ist für mich nicht der "Held vom Erdbeerfeld" *g*

 

Die mathematischen Probleme haben wir jetzt ja gelöst, jetzt muss ich ihn nurnoch überzeugen, dass ich meinen Lappi mit in die Klausur nehmen kann und das Thema is gegessen

 

Danke für die Aufklärung Delphin, hat doch einiges klarer gemacht, wenn man sich nochmal intensiver mit dem ganzen Formelquark beschäftigt und sich nochmal die Grundbegriffe ins Gedächtnis holt!

 

Gruß Dendi

[Klausxx]

Hallo Dendi,

 

irgendwie kommen mir die Angaben bekannt vor.

 

Uni Innsbruck?

[Reigning Lorelai]

Hallo Dendi,

 

wenn du mit dem Minimum-Varianz-Modell fertig bist und es durchchecken lassen möchtest dann wende dich am besten an Herrn Beck vom Institut für Vermögensaufbau unter http://www.institut-va.de/.. Die Emailadresse von ihm möchte ich jetzt nicht direkt hier posten da er damit wohl nicht einverstanden wäre, aber wenn du unter Kontakt klickst und dann an mail@institut-va.de siehst du dass er Vorstand des Unternehmens ist.

 

Und wenn du nun an diese Emailadresse deine Frage mit "Sehr geehrter Herr Dr. Beck" richtest wird er auch die Email erhalten und dir dann darauf antworten und dir sicherlich noch den einen oder anderen Tipp geben können... soll ja gut werden oder?

 

Und er ist der absolute Spezialist was Markowitz angeht.

 

Viele Grüße

 

W.Hynes

[Dendi]

Hi Ihr 2,

 

danke erstmal für die Hilfsangebote. Eine Überprüfung der Lösungen ist nicht notwendig, wir haben für jede Klausur auch einen Lösungszettel bekommen d.h. die Daten habe ich. Einzig und allein bei der Formel war ich mir unschlüssig, ist mitlerweile aber auch gegessen

 

@Klaus - nein ist nicht Uni OS (die Daten können natürlich übereinstimmen). Ist BA Heidenheim, also die kleinen Praxisverehrer und keine studierten Wissenschaftler

 

Gruß Dendi

[Klausxx]

@Klaus - nein ist nicht Uni OS (die Daten können natürlich übereinstimmen). Ist BA Heidenheim, also die kleinen Praxisverehrer und keine studierten Wissenschaftler

 

Gruß Dendi

 

Ah ok,

hatte bei der letzten Finanzwirtschaft Prüfung nur die gleichen Angaben .

[Zinsen]

Effizente Märkte? Learning by doing or doing by hypothesis:

http://brontecapital.blogspot.com/2011/04/china-media-express-and-comment-on.html?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+BronteCapital+%28Bronte+Capital%29